РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ
У даному розділі наводяться основні співвідношення класичної теорії згину пластин та плоскої задачі теорії пружності, а також системи сингулярних інтегральних рівнянь, що зустрічаються в дисертаційній роботі. Подано формули для розподілу зусиль і моментів, переміщень та прогину пластини в околі вістря тріщини в полярній та декартовій системах координат. На основі енергетичного критерію руйнування отримано залежність для визначення граничного навантаження пластини з тріщинами при згині.
2.1. Класична теорія згину пластин
Основні співвідношення класичної теорії згину тонких пластин, яка спирається на гіпотези Кірхгофа-Лява, наведені в монографіях [8, 58, 75, 112, 136, 145].
Розглянемо нескінченну ізотропну пластину завтовшки , яка містить циліндричний (круговий) отвір радіуса та систему довільно орієнтованих прямолінійних наскрізних тріщин завдовжки . Виберемо в серединній площині пластини початок декартової системи координат , направивши вісь перпендикулярно до неї, причому нехай початок координат співпадає з центром кругового отвору. В площині введемо полярну систему координат і з полюсом у точці та полярною віссю . Нехай центрам тріщин відповідають координати , а - кути нахилу лінії -тої тріщини до осі , . Пов'яжемо з -тою тріщиною декартову систему координат з центром у точці (див. рис. 2.1). Область всередині кругового отвору позначимо через , ззовні - через , лінію, де розміщена -та тріщина - через , а коло - через . Нехай пластина піддана деякому зовнішньому згинальному навантаженні.
Тоді напружено-деформований стан пластини за відсутності на її поверхнях нормального навантаження можна визначити через дві функції комплексної змінної і [136]
, (2.1)
, , , ,
де , і - відповідно згинальні та крутний моменти; , - перерізувальні сили; , - компоненти вектора переміщень; - прогин точок пластини; - нормальна координатa точки пластини по відношенню до її серединної площини , - циліндрична жорсткість; - модуль Юнга матеріалу пластини, а - коефіцієнт Пуассона; , , і - декартові координати точки серединної площини пластини.
Подамо комплексні потенціали у вигляді
, , (2.2)
де функції і голоморфні ззовні -тої тріщини, а функції і голоморфні в області .
Якщо маємо дві декартові системи координат та , пов'язані між собою співвідношенням
, , (2.3)
а функції і виконують ту ж роль у системі , що й функції і у системі , то
(2.4)
де .
Тепер (2.2) можна переписати у вигляді
, . (2.5)
Для визначення напружено-деформованого стану пластини з круговою границею та системою довільно орієнтованих тріщин скористаємося формулами [136]
, (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
де
, , ,
, ,
і - дійсні сталі, - крутний момент в полярній системі координат.
Якщо ввести функції [136]
, ,
, ,
то комплексні потенціали і можна подати у вигляді
, (2.10)
. (2.11)
і формули (2.6)-(2.9), врахувавши (2.5), (2.10) та (2.11), перепишемо так
. (2.12)
. (2.13)
, . (2.14)
, . (2.15)
Будемо вважати, що до пластини прикладене таке зовнішнє навантаження, що для безмежної області виконуються наступні подання
(2.16)
де - головний момент зовнішнього навантаження, прикладеного до пластини, відносно початку координат; і - голоморфні в області функції;
, , (2.17)
, , - задані на нескінченності згинальні та крутний моменти.
2.2. Плоска задача теорії пружності
За плоскої деформації пружного середовища або за узагальненого плоского напруженого стану компоненти тензора напружень , , і вектора переміщень , у декартовій системі координат виражаються через дві функції комплексної змінної і [82, 135]
, (2.18)
де - модуль зсуву матеріалу пластини, - для узагальненого плоского напруженого стану.
Компоненти тензора напружень , , і вектора переміщень , у полярній системі координат визначаються за наступними співвідношеннями
, (2.19)
Розглянемо нескінченну пластину з круговим отвором та системою прямолінійних тріщин (див. рис. 2.1), яка знаходиться під дією деякого навантаження, при якому виконуються умови для узагальненого плоского напруженого стану.
Зауважимо, що при переході від однієї системи декартових координат до іншої комплексні потенціали і перетворюються за аналогічними формулами до (2.4) і для потенціалів матимуть місце подібні залежності до (2.5),
, .
Якщо ввести функції [135]
, ,
, ,
то, як і в попередньому параграфі, матимемо залежності
, (2.20)
, (2.21)
, , (2.22)
, . (2.23)
Нехай - головний вектор зовнішніх зусиль, прикладених до тіла. Тоді для функцій і справедливе подання
, ,
, , (2.24)
де і - голоморфні функції в , для яких при великих мають місце розвинення
, . (2.25)
, , (2.26)
де , - головні напруження на нескінченності; - кут між напрямком напруження і віссю .
2.3. Коефіцієнти інтенсивності напружень і розподіл напружено-деформованого стану в околі вершини тріщини
Наведемо формули для розподілу в околі вістря тріщини зусиль та моментів [65, 75, 112, 122, 189, 203, 230-232]:
- в полярній системі координат (див. рис. 2.2)
, (2.27)
, (2.28)
- в декартовій системі координат (див. рис. 2.2)
, (2.29)
, (2.30)
, (2.31)
, (2.32)
, (2.33)
де - коефіцієнти інтенсивності зусиль (КІЗ), а -коефіцієнти інтенсивності моментів (КІМ). Значок "+" і "-" в