Розділ 2
Рівняння коливань тришарових оболонок з врахуванням дискретності ребристого наповнювача
При побудові рівнянь коливань тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності ребристого наповнювача в даній роботі використовується геометрично нелінійний варіант теорії оболонок і стержнів типу Тимошенка в квадратичному наближенні [116, 117]. Використовуючи варіаційний принцип стаціонарності Гамільтона-Остроградського, з врахуванням умов контакту заповнювач-обшивки, отримані рівняння неосесиметричних коливань тришарових структур в варіаційній та диференціальній формах з відповідними природними граничними та початковими умовами. Як частковий випадок, приводяться рівняння осесиметричних коливань тришарових оболонок з дискретним наповнювачем.
2.1. Вихідні положення та рівняння деформації пружних тіл
Нехай пружне тіло, що віднесено до ортогональної криволінійної системи координат , під дією деяких сил деформується. Тоді, деяка точка тіла М, що має координати (), отримає переміщення, яке може бути представлене трьома проекціями вектора повного переміщення в напрямках дотичних до координатних ліній
(2.1)
Деформаційний стан оболонки тіла в околі точки М() в рамках геометрично нелінійної теорії пружності характеризується наступними співвідношеннями [116, 117]
(2.2)
де
(2.3)
(2.4)
В співвідношеннях (2.3), (2.4) величини - коефіцієнти Ляме [116-118], які при побудові теорії оболонок мають вигляд
(2.5)
де - головні кривизни серединної поверхні оболонки; причому - радіуси головних кривизн; - коефіцієнти першої квадратичної форми.
Коефіцієнти першої квадратичної форми пов'язані з величинами відомими співвідношеннями Гауса-Кодаці
(2.6)
При розгляді розподілу деформацій і напружень, будемо покладати, що тіло є анізотропним і в процесі деформацій залишається пружним і підпорядковується узагальненому закону Гука для даного анізотропного тіла [119]. Зокрема, як частковий випадок загального анізотропного тіла, будемо розглядати ортотропне тіло, у якого через кожну точку тіла проходить три взаємно ортогональні площини пружної симетрії. Зв'язок між компонентами тензорів напружень і деформацій у такому тілі мають вигляд [119]
(2.7)
В формулах (2.7) пружні сталі мають наступний зміст - модулі Юнга у відповідних напрямах ; - модулі зсуву для поверхонь ; - коефіцієнти Пуассона, що характеризують поперечний стиск при розтягу в напрямі осей координат (перший індекс показує напрям поперечного стиску, другий - напрям дії сили). Причому, згідно умов симетрії маємо
2.2. Основні положення теорії оболонок типу Тимошенка
Розглядається оболонка постійної товщини з гладкою серединною поверхнею в ортогональній криволінійній системі координат . Координатні лінії на серединній поверхні оболонки при співпадають з лініями головних кривизн; координатна лінія є прямою, яка ортогональна до серединної поверхні. Будемо вважати величину додатньою, якщо точка знаходиться зі сторони опуклості серединної поверхні.
В основу побудови математичної теорії оболонок типу Тимошенка покладені наступні кінематичні і статичні гіпотези [23, 107-109].
1. Покладається, що нормаль до вихідної поверхні до деформації залишається прямолінійною після деформації; не змінює своєї довжини, але повертається відносно цієї поверхні на деякий кут. Згідно цих припущень закон розподілення переміщень приймається у вигляді
(2.8)
де - кути повороту нормалі.
2. Компоненти тензора деформацій визначаються згідно найпростішого нелінійного варіанту теорії оболонок в квадратичному наближенні [116, 117, 123]. З врахуванням формул (2.5), (2.6), (2.8) співвідношення (2.2) в цьому випадку мають наступний вигляд
(2.9)
де
(2.10)
3. Розв'язуючи перші три рівняння співвідношень (2.7) відносно при врахуванні, що і нехтуванні величиною в порівнянні з і , отримаємо наступні формули, що зв'язують напруження з відповідними деформаціями
(2.11)
де величини мають наступний вигляд
4. Зсувні поперечні напруження і змінюються по товщині оболонки згідно закону
(2.12)
де - модулі поперечного зсуву.
2.3. Основні положення теорії криволінійних стержнів з врахуванням деформацій поперечного зсуву
Нехай маємо тонкий криволінійний стержень довільного поперечного зрізу. В центрі ваги площини зрізу розташуємо початок координат , причому вісь направлена вздовж осі стержня, а вісі і паралельні головним осям цього поперечного зрізу. Припускається, що вздовж осі поперечний зріз стержня сталий. Координатна лінія при співпадає з лінією головної кривизни; лінії і являються ортогональними до координатної лінії . Величина рахується додатною, якщо розглянута точка лежить зі сторони опуклості координатної лінії. Система координат - ортогональна по побудові і її коефіцієнти Ляме мають вигляд
(2.13)