РАЗДЕЛ 2
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ,
ТЕРМОЭЛЕКТРО- И ТЕРМОМАГНИТОУПРУГОСТИ
2.1. Краевые задачи теплопроводности,
термоэлектро- и термомагнитоупругости
Рассмотрим многосвязное пьезоэлектрическое (или пьезомагнитное) цилиндрическое тело, обладающее прямолинейной анизотропией и ослабленное продольными цилиндрическими полостями с образующими, параллельными оси цилиндра. Будем считать, что
1. Деформации в теле малы и подчиняются уравнениям термоэлектроупругого (термомагнитоупругого) состояния;
2. Теплофизические свойства материала тела не зависят от температуры;
3. Объемные силы и свободные заряды (токи проводимости) в теле отсутствуют;
4. На тело действует неравномерно распределенное поле температур, а также, быть может, механические усилия и электрические (магнитные) поля так, что оно находится в двумерном термоэлектроупругом (термомагнитоупругом) состоянии, не изменяющемся вдоль образующих полостей, причем внешние температурные, механические, электрические (магнитные) воздействия распределены по цилиндрическим поверхностям тела или сосредоточены вдоль параллельных оси цилиндра линий, проходящих через внутренние точки.
Выберем прямоугольную систему координат , направив ось по направлению образующих полостей. В поперечном сечении тела плоскостью будем иметь многосвязную область , ограниченную внешним контуром и контурами отверстий (рис. 2.1). В качестве частного случая, когда внешняя цилиндрическая поверхность целиком уходит в бесконечность и, следовательно, контур отсутствует, будем рассматривать бесконечное многосвязное тело с полостями.
Краевая задача теплопроводности. Определение температурного поля в рассматриваемом теле сводится к интегрированию уравнения стационарной теплопроводности [94]
,
где - коэффициенты теплопроводности, при граничных условиях. Эти условия имеют вид
,
если на границе задана температура;
,
если на границе задана плотность потока тепла
,
причем
, -
плотности потоков тепла через основные площадки;
,
для конвективного теплообмена с окружающей средой, где ? коэффициент теплообмена с окружающей средой; ? температура окружающей среды;
,
для случая двух идеально контактирующих тел. Здесь , и , - температура и плотность потоков тепла на границе контакта тел.
Заметим, что по вычисленной температуре можно вычислить
-
плотность потока тепла через площадку, перпендикулярную к оси .
Краевые задачи термоэлектро- и термомагнитоупругости. Определение термоэлектроупругого состояния (ТЭУС) рассматриваемого тела сводится к решению системы уравнений термоэлектроупругости, состоящей из уравнений равновесия [132] и вынужденной электростатики [164]
, , ;
, ,
соотношений термоэлектроупругого состояния [134]
,
,
,
,
,
,
,
,
и соотношений [132]
, , , , ,
, , , .
Здесь , , и , , - компоненты векторов индукции и напряженности поля; - потенциал электрического поля; - коэффициенты деформации материала тела, измеренные при постоянной электрической индукции и температуре; - коэффициенты диэлектрической восприимчивости, измеренные при постоянных напряжениях и температуре; - пьезоэлектрические модули, измеренные при постоянной температуре; - коэффициенты теплового расширения, измеренные при постоянной индукции электрического поля; - пироэлектрические модули, измеренные при постоянных напряжениях. Под в формулах понимается разность температур в текущем и начальном состоянии, при котором напряжения и деформации, индукция и напряженность поля равны нулю.
Кроме того, должны выполняться соотношения совместности деформаций Сен-Венана [132]
, .
Указанную систему уравнений термоэлектроупругости нужно решать при заданных на границе механических и электрических условиях.
Механические граничные условия имеют вид [132]
, ,
,
если на границе заданы проекции усилий , , , или
, ,
когда на границе заданы проекции перемещений , , .
Электрические граничные условия записываются в виде [164]
в случае задания на границе электрической индукции или
,
если на границе задан потенциал электрического поля.
По аналогии с термоэлетроупругостью для определения термомагнитоупругого состояния (ТМУС) нужно решать систему, состоящую из уравнений равновесия , уравнений магнитостатики [164], соотношений термомагнитоупругого состояния [13]
, ;
,
,
,
,
,
,
,
,
;
, , , , ,
, , , ,
где , , и , , - компоненты векторов индукции и напряженности поля; - потенциал магнитного поля; - коэффициенты деформации материала тела, измеренные при постоянной магнитной индукции и температуре; - коэффициенты магнитной восприимчивости, измеренные при постоянных напряжениях и температуре; - пьезомагнитные модули