РАЗДЕЛ 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ВРАЩАЮЩИЕСЯ ОБОЛОЧКИ ПРИ ИХ ПОТЕРЕ
УСТОЙЧИВОСТИ, СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ И СЛОЖНОМ ВРАЩЕНИИ
2.1. Силы инерции, действующие на элемент вращающейся оболочки при потере
устойчивости
В данной работе рассматривается задача о бифуркационных состояниях тонких
осесимметричных оболочек при простом и сложном вращениях. Считается, что при
простом вращении критическое состояние оболочки может наступить по наименее
энергоемкой форме, связанной с ее выпучиванием по первой гармонике относительно
оси вращения. Для вывода уравнений критического равновесия вращающейся оболочки
необходимо подсчитать силы инерции, действующие на ее элемент в некотором
возмущенном состоянии и определить значение угловой скорости вращения, при
которой, благодаря свойству позиционности этих сил, происходит вырождение
оператора линеаризованных уравнений равновесия.
Как показано на примерах простейших вращающихся упругих систем в пп.
1.2.1-1.2.3, структура уравнений их равновесия и колебаний существенно зависит
от выбора вида системы координат (неподвижной или вращающейся), в которой
изучается упругое деформирование этой системы. Вопрос выбора системы координат
является особенно важным для анализа статики и динамики вращающихся оболочек.
Поскольку при проведении такого анализа необходимо вычислять упругие напряжения
и деформации, которые задаются только в системе координат, связанной с
оболочкой, приходится использовать эту же систему координат при вычислении сил
инерции и выводе разрешающих уравнений. Так как эта система координат вращается
и поэтому не является инерциальной, следует считать абсолютное движение каждого
элемента оболочки сложным и, исходя из этого, подсчитывать соответствующие силы
инерции. Рассмотрим вначале наиболее простое состояние оболочки, когда она
совершает простое вращение и колебаний не совершает. В этом случае ее потеря
устойчивости может произойти по схеме, описанной в пп. 1.2.1, 1.2.2. Выведем
выражения для сил инерции, действующих на оболочку в ее некотором возмущенном
состоянии.
Пусть осесимметричная оболочка одним (или двумя) из своих круговых граничных
контуров присоединена к твердому телу, вращающемуся с постоянной угловой
скоростью относительно неподвижной оси, совпадающей с осью круговой симметрии
оболочки (рис.2.1). Введем правые системы координат: - инерциальная система
координат с началом в центре защемленного контура оболочки, ось которой
колинеарна вектору ; - система координат, связанная с вращающимся твердым
телом, к которому присоединена оболочка, причем ось колинеарна оси . На
срединной поверхности оболочки введем ортогональную криволинейную систему
координат , в которой координатная линия лежит в образующем сечении, направлена
в окружном направлении, - по внутренней нормали к поверхности оболочки.
Так как разрешающие уравнения равновесия и движения оболочки будут выписаны в
криволинейной системе координат , сформулируем ее основные свойства [15]. Пусть
геометрия оболочки задается компонентами , , ) радиуса-вектора ее срединной
поверхности.
Тогда векторы касательны к координатным осям , а плоскость, проведенная через
эти векторы, является плоскостью, касательной к поверхности в рассматриваемой
точке.
С помощью построенных касательных векторов можно определить единичный вектор
нормали к поверхности
Рис. 2.1 Системы координат, используемые при исследовании устойчивости и
собственных колебаний вращающихся оболочек.
Рис. 2.2 Системы координат, используемые при исследовании сложного вращения
упругих оболочек.
. (2.1)
Если координатные линии и составляют угол , то можно записать
.
Введенные здесь обозначения
(2.2)
определяет ковариантные компоненты метрического тензора срединной поверхности.
С их помощью вычисляется квадрат элемента дуги
.
Это выражение носит название первой квадратичной формы поверхности, а величины
-коэффициенты первой квадратичной формы. Они вычисляются по формулам
. (2.3)
В данной работе рассматриваются осесимметричные оболочки, поэтому система
координат , является ортогональной и .
Касательные к координатным линиям срединной поверхности оболочки векторы
составляют основной локальный базис. Вводится также взаимный базис
, (2.4)
векторы которого сопряжены с векторами , и - контравариантные компоненты
метрического тензора, вычисляемые по формулам
, (2.5)
где - фундаментальный определитель метрического тензора .
С помощью введенных величин подсчитывается площадь элемента срединной
поверхности оболочки
.
Приведенные выше равенства (2.1)-(2.5) определяют систему координат , на
поверхности оболочки. Подчеркнем, что в этой системе рассматриваемые векторы
определяются своими ковариантными компонентами. В тоже время вектор ,
дополняющий ее до трехмерной, равен единичной нормали , поэтому компоненты
векторов по этому направлению являются физическими. Ниже построенная система
координат используется для вычисления локальных компонент векторов ускорений
элементов оболочки при простом и сложном вращениях.
С учетом наличия в оболочке при ее потере устойчивости предварительных
напряжений, вызванных вращением, воспользуемся геометрически нелинейными
уравнениями динамического равновесия ее элемента в общем виде [15, 23, 27]. В
системе Oxyz они имеют вид
() (2.6)
Здесь - вектор внутренних сил; - вектор внутренних моментов; -
символ ковариантной производной; - вектор интенсивности сил инерции, -
плотность материала оболочки; h – толщина; - вектор абсолютного уск