РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ЛІНІЙНОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК З КРИВОЛІНІЙНИМИ ГРАНИЦЯМИ
У розділі систематизовано і строго викладено підхід до подання компонент тензора деформацій контурних точок пластинки і диска інтегральними співвідношеннями з ядрами Гільберта через компоненти тензора напружень в зоні контакту [78, 97]. Аналогічні інтегральні співвідношення на підставі [81, 83, 94, 95, 96, 98] записано для компонент вектора зміщення контурних точок. Вони дають можливість формулювати граничні умови контактних задач у вигляді рівності кривин або нормальних зміщень пластинки і диска в зоні їх контакту [15, 57, 78].
Побудовано уточнений варіант граничних умов задачі про контактну взаємодію нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска при їх спряженні з нульовим зазором або натягом в з'єднаннях для передачі обертального руху.
2.1. Нескінченна ізотропна пластинка з криволінійним отвором
Розглянемо нескінченну ізотропну пластинку товщиною з симетричним криволінійним отвором у формі правильного -кутника із закругленими кутами. Середню поверхню пластинки віднесемо до системи прямокутних і полярних координат з полюсом в центрі отвору (рис. 2.1).
Раціональна функція [44, 61, 62]
, (2.1)
здійснює конформне відображення зовнішності одиничного кола в площині на область, яку займає пластинка в площині . Тут - характерний розмір отвору; - параметр, який характеризує відхилення форми криволінійного многокутника від кола; - полярна система координат в площині ; . При , функція (2.1) реалізує конформне відображення на зовнішність зовнішності еліпса; при , - зовнішності трикутника із закругленими кутами; , - зовнішності квадрата із закругленими кутами. Для спрощення викладу вважаємо, що .
Рис. 2.1. Схема навантаження пластинки
Допустимо, що до контура або до його частини прикладені нормальні і дотичні зусилля, головний вектор яких дорівнює нулю, а головний момент відмінний від нуля. Будемо вважати, що зовнішнє навантаження "на нескінченності" відсутнє.
Деформації контура отвору в пластинці при заданому навантаженні визначаються співвідношеннями [78, 97]
;
, . (2.2)
Тут введені позначення
; ;
; ; ;
, - відносне видовження контура і кут повороту нормалі до нього; - дуга на ; , - нормальна і дотична складові вектора зміщення контурних точок; - кут між нормаллю до і віссю Ох; , - модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластинки.
Компоненти напружено-деформованого стану на контурі отвору через величини , , , визначаються за формулами [78, 97]
, , , , (2.3)
де ; ; ; .
Кільцеві зусилля на знаходимо із співвідношення [78, 97]
. (2.4)
При залежності (2.2)-(2.4) переходять у відомі формули для пластинки з круговим отвором [51, 101].
Гранична умова першої основної задачі плоскої теорії пружності для пластинки з криволінійним отвором має вигляд [44]
, (2.5)
де , - комплексні потенціали; - комплексна стала; ;
. (2.6)
Якщо (2.5) помножити на і проінтегрувати по контуру , то для заданого навантаження одержимо
. (2.7)
При відсутності обертання "на нескінченності" функція визначається з точністю до комплексної сталої [44], тому компоненти вектора зміщення будуть визначатися із точністю до лінійного зміщення пластинки як жорсткого цілого. Для їх визначення використаємо граничну умову другої основної задачі [44]
. (2.8)
Тут - модуль зсуву матеріалу пластинки; ; , - зміщення точок контура пластинки в напрямках координатних осей.
Додавши співвідношення (2.5) і (2.8), одержуємо на
. (2.9)
Застосовуючи до (2.7) формули Сохоцького-Племеля [31, 44] і підставляючи одержані результати в (2.9) з врахуванням співвідношення [51]
, (2.10)
одержимо після певних перетворень і розділення дійсної та уявної частин
;
, (2.11)
де , - дійсні сталі.
Якщо напружено-деформований стан періодичний на з періодом , то сталі , визначаються із умов
, . (2.12)
При цьому величини , і , зв'язані залежністю [44]
. (2.13)
2.2. Нескінченна ортотропна пластинка з еліптичним отвором
Розглянемо нескінченну ортотропну пластинку з еліптичним отвором, до контура якого або до його частини прикладені зусилля і . Не порушуючи загальності, вважаємо, що головні напрямки ортотропії матеріалу пластинки співпадають з напрямками координатних осей і осями еліпса (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Схема навантаження пластинки
За допомогою функції
(2.14)
реалізуємо конформне відображення області в площині на область, яку займає пластинка, де ; ; , -півосі еліпса.
Деформації контура отвору пластинки для даної задачі визначаються за формулами [15, 97]
(2.15)
Тут позначено
; ;
; ;
, - корені характеристичного рівняння [32, 33]; , - модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластинки в напрямку осі Ох.
Компоненти напруженого стану на через величини , знаходимо за формулами (2.3). Кільцеві зусилля визначаються із співвідношення [79]
, (2.16)
де
;
;
; ;
; ;
; . (2.17)
Якщо в (2.15)-(2.17) прийняти , то одержимо співвідношення (2.2)-(2.4) для ізотропної пластинки з еліптичним отвором. У випадку кругового отвору в (2.15)-(2.17) слід покласти .
Граничні умови першої основної задачі для ортотропної пластинки запишемо у вигляді [32]
; , (2.18)
причому функції , визначаються за формулою (2.6); , -
комплексні потенціали Лехніцького.
Загальний розв'язок задачі (2.18) при заданому навантаженні має вигляд [79]
; . (2.19)
Як і у випадку ізотропної пластинки, при відсутності обертання "на нескінченності" функції (2.19) визначають компоненти вектора зміщення з точністю до лінійного зміщення пластинки як жорсткого цілого.
Для визначення зміщення контурних точок використаємо граничні умови друг