РАЗДЕЛ 2
ДВУМЕРНАЯ НЕСИММЕТРИЧНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА С УЧЕТОМ КОНТАКТА БЕРЕГОВ
В настоящем разделе рассмотрена динамическая задача о нагружении плоскости с трещинами при учете контактного взаимодействия противоположных берегов трещин. Сформулирована корректная постановка задачи и приведена общая методика ее решения, предложенная А.Н. Гузем и В.В. Зозулей [14-16, 75, 108, 113].
Задача о взаимодействии гармонических волн растяжения-сжатия и сдвига с прямолинейной трещиной конечных размеров сведена к системе граничных интегральных уравнений и односторонним ограничениям в виде неравенств.
Вычислены интегральные ядра, входящие в системы граничных интегральных уравнений, получены системы линейных алгебраических уравнений, соответствующих исходной задаче. Приведены итерационные алгоритмы решения задачи, дан их сравнительный анализ.
2.1. Общая формулировка задачи и методика ее решения
2.1.1. Динамическое нагружение плоскости с трещинами. Контакт берегов
Рассматривается упругое двумерное пространство , в котором имеется одна или несколько произвольно ориентированных трещин с фиксированными контурами. Перемещения и их градиенты малы. Поверхности трещин описываются следующим образом - ( и - противоположные берега трещин, , - количество трещин).
На тело могут действовать объемные силы . Если предположить, что перемещения точек тела и их градиенты относительно малы, то напряженно-деформированное состояние тела описывается уравнениями линейной динамической теории упругости в перемещениях
(2.1)
при этом оператор для изотропной среды имеет вид
где - вектор перемещений; - плотность материала; - частная пространственная производная; - производная по времени; и - постоянные Ламэ; - символ Кронекера.
Решение уравнения (2.1) полностью определяется распределением векторов перемещений и скоростей в начальный момент времени - начальных условий, которые задаются в следующим образом
, (2.2)
Рассмотрим условия, которые должны выполняться на берегах трещин. Введем следующие обозначения: , , - начальное раскрытие трещин, соизмеримое с их размерами, то есть и локально почти параллельны.
Взаимное смещение берегов трещин характеризуется вектором разрыва перемещений
Контактные силы взаимодействия берегов трещин связаны с компонентами тензора напряжений следующим образом
где - изменяющаяся во времени область контакта берегов трещин; - компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности или в точке .
Исходя из свойств поверхностей и , получаем
Контактное взаимодействие берегов трещин учитывается с помощью задания следующих условий:
1. для нормальных компонент векторов и
- не допускается наложение противоположных берегов трещин
- предполагается односторонний контакт между берегами
2. для касательных компонент векторов и
- берега трещин неподвижны, до тех пор, пока они удерживаются силами трения
- скорость движения берегов зависит от свойств контактирующих поверхностей
Таким образом, на берегах трещин должны выполняться следующие ограничения [14-16]
(2.3)
(2.4)
где и - нормальные и касательные компоненты векторов разрыва перемещений и контактных сил взаимодействия; - коэффициент трения; - коэффициент, зависящий от свойств контактирующих поверхностей.
Следовательно, нахождение решения задачи о динамическом нагруже-
нии пространства с трещинами с учетом контакта берегов сводится к решению задачи (2.1), (2.2) с ограничениями (2.3), (2.4).
Данная задача с ограничениями эквивалентна двум задачам: неоднородной задаче для тела без трещин и однородной задаче для тела с трещинами и ограничениями. При решении второй задачи учитывается, что к берегам трещин приложена фиктивная нагрузка , вычисленная при решении первой задачи. При этом нагрузка на берегах трещин принимает следующий вид
2.1.2. Задача о гармоническом нагружении пространства с трещинами
В пространстве произвольно расположены трещин. Объемные силы, действующие на тело гармонически изменяются во времени
где - частота колебаний, - период колебаний.
Следовательно, задача сводится к решению следующей системы уравнений
Представим решение системы в виде
Причем удовлетворяет неоднородной системе уравнений
а удовлетворяет однородной системе уравнений
с начальными условиями
Так как рассматривается задача о неограниченном теле с трещинами, то для однозначной разрешимости задачи, как показано в [38-40, 51], необходимо принять ограничения на поведение тела на бесконечности. Условия, ограничивающие поведение решения на бесконечности, накладываются на составляющие и комплексной амплитуды вектора перемещений [16].
Решение задачи о гармоническом нагружении пространства с трещинами делится на две части: вначале решается задача для падающих волн, затем для отраженных. По заданным значениям решается задача для падающих волн. Затем, найдя фиктивную нагрузку , решается задача для отраженных волн.
Так как на берегах трещин должны выполняться односторонние ограничения, а область контакта изменяется во времени, то решение задачи описывается не гармоническим, а установившемся во времени периодическим процессом. Поэтому компоненты напряженно-деформированного состояния раскладываем в ряды Фурье
(2.5)
с коэффициентами
(2.6)
где .
Таким образом, получаем счетное множество стационарных систем уравнений
, (2.7)
где в выражениях (2.5), (2.6), (2.7) .
Следовательно, для решения задачи о гармоническом нагружении пространства с трещинами необходимо определить такие коэффициенты Фурье (2.6), для которых и , определяемые (2.5), удовлетворяли бы ограничениям в виде неравенств (2.3), (2.4). Таким образом, задача св