РАЗДЕЛ 2.
Развитие обобщенного метода Фурье для решения термоупругих задач в многосвязных областях, ограниченных сферой и сфероидом
2.1. Обобщенный метод Фурье в задачах теории упругости при отсутствии температурного поля
Материал, изложенный в настоящем пункте, составлен на основе работ А.Г. Николаева [78, 85, 87, 91].
2.1.1. Базисные векторные решения уравнения однородного Ламе для сферы и сфероида. Теоремы сложения
Введем сонаправленные сферическую , вытянутую сфероидальную и сжатую сфероидальную системы координат. Центры координат сферической и сфероидальных систем координат разнесены по оси симметрии задачи на расстояние a. Сферическая и сфероидальные системы координат связанны соотношениями и , или и где с - параметр сфероида, , .Уравнения r=R и определяют граничные поверхности .
Возможны следующие варианты взаимного положения непересекающихся граничных поверхностей:
- сфера и сфероид расположены вне друг друга
- сфера расположена внутри сфероида
- сфероид расположен внутри сферы
Решение уравнения Ламе ищем в виде суперпозиции соответствующих базисных решений:
. (2.1)
Здесь - неизвестные коэффициенты; - нормирующие множители; , - осесимметричные варианты общих базисных решений однородного уравнения Ламе для сферы и сфероида соответственно. Здесь и ниже обозначает вытянутый сфероид и - сжатый. Таким образом, обозначает базисные решения для вытянутого сфероида, - для сжатого. Верхний индекс "+" ("-") обозначает соответственно внешнее (внутренне) базисное решение.
Сферические базисные решения в базисе цилиндрической системы координат имеют вид:
, (2.2)
, (2.3)
, , (2.4)
, ,
где - коэффициент Пуассона, - функция Лежандра первого рода.
Базисные перемещения на поверхности сферы в координатной форме записи:
(2.5)
, , , ,
, ,
, ,
где - присоединенная функция Лежандра первого рода.
Для вытянутого сфероида базисные решения уравнения Ламе определяются следующим образом:
, (2.6)
, (2.7)
, , (2.8)
, ,
где - функция Лежандра второго рода.
В координатной форме базисные векторные перемещения на поверхности сфероида имеют следующий вид:
, (2.9)
, ,
, ,
, ,
Для сжатого сфероида базисные решения уравнения Ламе определяются следующим образом:
, (2.10)
, (2.11)
, , (2.12)
, ,
где - мнимая единица.
В координатной форме записи базисные векторные перемещения на поверхности сфероида имеют следующий вид:
, (2.13)
, ,
, ,
, ,
В задачах тории упругости для пространства, содержащего сферическую и вытянутую сфероидальную неоднородности, центры которых разнесены на расстояние , применяются следующие теоремы сложения:
, (2.14)
, (2.15)
где
, ,
, , ,
Для шара с концентрической сфероидальной неоднородностью применяются следующие теоремы сложения:
, (2.16)
. (2.17)
Коэффициенты теорем сложения для вытянутого сфероида определятся следующим образом:
, ,
, ,
, ,
, ,
где , - гамма - функция.
Для сфероида с концентрической сферической неоднородностью применяются следующие теоремы сложения:
, (2.18)
, (2.19)
где коэффициенты определяются следующим образом:
, , ,
, где ,
, ,
Обозначением обозначим вектор напряжений, соответствующий вектору перемещений на площадке с вектором нормали
, (2.20)
где - модуль сдвига.
Вектор нормали к поверхности сферы связанной со сферической системой координат имеет вид . Применив (2.20) к базисным перемещениям (2.2, 2.3) в базисе на поверхности сферы получим
, (2.21)
, ,
, , ,
, ,
, .
На поверхности вытянутого сфероида на площадках, касательных к поверхности сфероида, т.е. имеющих нормаль , (), получаем
, (2.22)
, , ,
, ,
На поверхности сжатого сфероида, вектор нормали в описанном выше базисе имеет вид , где . Вектор усилий, соответствующий базисным перемещениям (2.10, 2.11) на поверхности сжатого сфероида имеет вид:
, (2.23)
, , ,
, ,
2.1.2. Основные задачи теории упругости
В задачах теории упругости для пространства со сферической и сфероидальной неоднородностями решение уравнения Ламе ищем в виде суперпозиции внешних сферических и сфероидальных базисных решений (2.1)
. (2.24)
Во второй основной задачи теории упругости, граничные условия на поверхностях включений имеют вид
, .
Будем предполагать, что граничные условия и разлагаются в ряды Фурье по функциям Лежандра
, (2.25)
. (2.26)
Подставив (2.14, 2.15) в (2.24), и изменив порядок суммирования, получим выражение перемещений в сферической и в сфероидальной системах координат. Удовлетворяя условиям на границе (2.25) и (2.26) и используя ортогональность функций Лежандра, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ), относительно неизвестных и
(2.27)
где и Коэффициенты системы определяются следующим образом:
, , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, , ,
, .
где коэффициенты , , , определенны выше, в п. 2.1.
В первой основной задачи теории упругости, граничные условия на поверхностях включений имеют вид
, .
Предположим, что граничные усилия и разлагаются в ряды Фурье по функциям Лежандра
, (2.28)
, (2.29)
где .
Подставив (2.14, 2.15) в (2.24), и изменив порядок суммирования, получим выражение перемещений в сферической и в сфероидальной системах координат. На основании формул (2.21) и (2.22) найдем выражения для векторов напряжений на сферической () и сфероидальной граничных поверхностях. Удовлетворяя условиям на границе (2.28) и (2.29) и используя ортогональность функций Лежандра, получим БСЛАУ, относительно неизве