Раздел 2
методика исследования
Решение задачи упругопластичности предполагает на этапе нагрузки представление
полей напряжений, деформаций и перемещений в виде суммы обратимой (упругой) и
необратимой (пластической) составляющих [21]. По своему происхождению
остаточные НДС есть накопленная сумма пластической части [20]. Следовательно,
задача определения остаточных НДС может быть решена в два приема - сначала
определение полных НДС при решении задачи упругопластичности, а затем либо
явное выделение из решения суммы пластической составляющей НДС, либо удаление
из решения упругой составляющей, что дает в остатке дополняющую ее пластическую
составляющую. Последнее действие осуществимо с помощью фильтра, основанного на
использовании (искусственной) вязкости, который позволяет снять упругое
неуравновешенное НДС в процессе релаксации. В результате использования такого
подхода должно быть получено поле самоуравновешенных статических остаточных
напряжений, а также соответствующих статических деформаций и перемещений.
Вначале рассмотрены описанные в литературе постановки задач, подобные тем,
которые необходимо решить в данном исследовании, а также методы их решения.
Сравнительный анализ постановок и методов позволил сформулировать МММ процессов
образования остаточных НДС и выбрать численный метод реализации (метод
Уилкинса), который, однако, не вполне отвечает потребностям исследования, так
как не предназначен для анализа стационарных состояний.
Для расширения возможностей метода предложено применить искусственную вязкость,
которую можно вписать в метод Уилкинса, для рассеяния энергии механических
упругих колебаний элементов системы и определения таким образом стационарного
асимптотического состояния системы после окончания этапа пластических
деформаций, вызванных ударами.
В конце раздела изучены адекватность МММ и точность предложенной методики
посредством сравнительного анализа, с одной стороны, численных решений по
данной методике и, с другой стороны, экспериментальных данных и решений
известных задач, опубликованных ранее.
. Формулировки и методы решения задач
При формулировании определяющих уравнений пластического течения используют
эйлеров, лагранжев и смешанный способы [38, 66, 128-130]. В связи с выбором в
качестве базисной неподвижной или сопутствующей систем координат используют
различные тензоры деформаций (Грина-Лагранжа и Альманси- Эйлера [129, 131]) и
напряжений (Коши, Пиолы- Кирхгофа 1-го 2-го рода, Яуманна [27, 38]) для
описания кинематики и динамики пластических сред. При анализе малых деформаций
преимущественно используют лагранжев подход , при больших деформациях- эйлеров
и смешанный подходы [128, 132]. При численных расчетах удобно пользоваться
системой уравнений, в которой в качестве независимых переменных используются
лагранжевы координаты, а зависимые переменные (скорости, напряжения, деформации
и т.д.) соответствуют эйлеровой системе отсчета, как принято, например, в
методе Уилкинса [133]. Такой подход позволяет сохранить все удобства, связанные
с лагранжевыми координатами, и избавиться от необходимости рассчитывать на
каждом временном шаге метрический тензор и величины символов Кристоффеля.
Система квазилинейных уравнений динамической теории пластичности является
гиперболической [128]. Исследование характеристических свойств различных
вариантов полной системы уравнений конечно-деформированной упруго-пластической
среды содержится, например, в работах [134, 135].
Для формулирования задач неодномерной пластичности используют дифференциальный,
вариационный [103, 136, 137] и инкрементальный подходы [138] в пространстве
перемещений, напряжений и в смешанных пространствах состояний [38, 128]. Для
дискретизации и решения многомерных задач пластичности используются
вариационные методы [38, 45, 139], методы конечных разностей [27, 58, 128, 133,
140- 142], методы конечных элементов [38, 45, 139, 143], методы граничных
элементов [38], методы типа Галеркина (взвешенных невязок) [38, 142], методы
крупных частиц [142, 144, 145, 152], метод упругих решений [146], методы
характеристик [58, 128], лучевые методы [54]. Эти методы отличаются способом
дискретизации МММ по пространственным переменным.
При решении гиперболических систем уравнений наиболее часто используют
смешанную аппроксимацию, включающую конечно-разностную дискретизацию по времени
и какую-либо дискретизацию (по методу конечных элементов, по методу Галеркина,
по методу граничных элементов и т.п.) по пространственным переменным [27, 110,
140, 147]. Различают явные и неявные схемы дискретизации по времени [140]. К
схемам дискретизации предъявляют требования точности и устойчивости [110]; под
устойчивостью метода решения понимают отсутствие ложных решений в виде
прогрессирующих осцилляций. Неявные методы по преимуществу являются устойчивыми
при произвольно большом шаге дискретизации по времени, явные- условно
устойчивыми (устойчивыми при малом шаге). Среди разностных схем одного и того
же порядка аппроксимации (уровня точности) наиболее предпочтительными в смысле
точности воспроизведения характерных особенностей действительного решения
дифференциальных уравнений являются те схемы, у которых области зависимости
наиболее близки к областям зависимости исходных дифференциальных уравнений. По
этому признаку при решении гиперболических уравнений следует применять явные
схемы [142]. Неявные схемы, хотя и являются в большинстве своем абсолютно
устойчивыми, и позволяют вести интегрирование с бомльшим шагом по времени, чем
явные, очень сильно расширяют область зависимости разностных уравнений, что
приводит к сильному сглаживанию волновых профил
- Київ+380960830922