РОЗДІЛ 2
МЕТОДИКА ЧИСЕЛЬНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ПЛАСТИН З ДОПОМОГОЮ ГЕОМЕТРИЧНО ЛІНІЙНИХ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ
2.1. Теоретичні основи методики
2.1.1. Загальні відомості
Методика, запропонована в даній роботі, базується на використанні статичного критерію стійкості в класичній постановці задачі (для визначення суміжного рівноважного стану), а також на використанні метода скінченних елементів (для дослідження напруженого початкового рівноважного стану).
При дослідженні пружної стійкості пластин приймається ряд припущень. Їх мета - забезпечення можливості використання математичного апарату. В залежності від специфіки задачі деякі з цих припущень можуть бути змінені, однак є певна основа - класична постановка задачі.
Дослідження рівноважного стану з урахуванням наведених в першому розділі припущень веде до рівняння стійкості пластин, яке в декартових координатах має вигляд[32]:
. (2.1)
Його ненульовий (відносно функції нормальних прогинів ) розв'язок дозволяє знаходити точки біфуркації та відповідні їм критичні навантаження.
2.1.2. Основні положення методики
При втраті стійкості рівноваги пластини в суміжному рівноважному стані з'являються прогини , які являють собою переміщення, нормальні до серединної площини пластини.
У рівнянні (2.1) доданок можна трактувати як розподілене навантаження, що діє перпендикулярно до серединної площини пластини в суміжному рівноважному стані. При цьому пластина працює як плита відповідно до своїх граничних умов.
Якщо роботу плити описати функцією Гріна яка дозволяє визначити переміщення в будь-якій точці за будь-якого розташування одиничної сили в точці , то прогин в точці від довільного навантаження можна знайти, використовуючи інтегральне співвідношення:
(2.2)
(навантаження розподілене за законом по всій поверхні плити).
Враховуючи, що в ролі навантаження при втраті стійкості виступає вираз , згідно з (2.2) одержимо: . (2.3)
Для пластин зі складним обрисом та особливо з отворами і змінною товщиною одержати аналітичний вираз функції Гріна важко. Для таких випадків функцію Гріна можна замінити матрицею Гріна:
, де коефіцієнти виду являють собою
переміщення вузла (i,j) внаслідок прикладення зосередженої сили в вузлі (r,h) (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Коефіцієнти матриці Гріна
Вираз (2.3) можна звести до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно переміщень в кожному вузлі. Власні значення матриці, що складається з коефіцієнтів при переміщеннях в цій системі, відповідатимуть суміжним рівноважним станам пластини.
2.2. Використання прямокутних скінченних елементів
2.2.1. Застосування скінченно-різницевих операторів
Розглянемо випадок, коли крок розбивки вздовж осей та сталий (пластина розбита на рівні за площею прямокутні скінченні елементи).
Для використання рівняння (2.3) похідні другого порядку повинні бути записані у вигляді скінченно-різницевих операторів через переміщення у відповідних точках.
В даному випадку можна скористатись відомими операторами [3] для вираження похідних через значення функції в точках сітки. Оператори, які дозволяють обчислювати другі похідні функції двох змінних, наведено на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Скінченно-різницеві оператори
Похідні другого порядку в точці (i,j) в скінченних різницях запишуться так:
(2.4)
2.2.2. Розрахункові залежності для випадку прямокутних скінченних елементів
Нормальні сили в точці (i,j) при втраті стійкості, враховуючи скінченно-різницеві вирази (2.4), запишуться так:
(2.5)
Переміщення в точці (k,s) з урахуванням (2.5):
(2.6)
Це рівняння необхідно записати у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду:
, (2.7)
де - коефіцієнти при переміщеннях в системі лінійних алгебраїчних рівнянь.
Проаналізуємо вираз (2.6) виходячи з того, що він одержаний з використанням скінченно-різницевих операторів (2.4). Переміщення вузла буде входити у вирази, які відповідатимуть вузлу (i,j) та вузлам, що його оточують (рис. 2.2).
Запишемо вираз (2.6) для довільного вузла (k,s). При цьому, не порушуючи структури, покажемо лише доданки, які містять переміщення :
(2.7)
Як видно з (2.7), в загальному випадку після групування подібних при переміщенні буде знаходитись десять доданків. Вони утворять коефіцієнт при в системі лінійних алгебраїчних рівнянь:
(2.9)
Тут- параметр навантаження (простого). Його критичне значення (при якому пластина втрачає стійкість) знаходиться з рівняння:
, (2.10)
де - матриця системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що складається з коефіцієнтів при переміщеннях - матриця стійкості. Задача визначення критичних параметрів навантаження таким чином зводиться до задачі на власні значення матриці стійкості. При цьому критичні параметри навантаження є зворотною величиною ласних значень матриці. Коефіцієнти матриці стійкості визначаються за формулою:
(2.11)
2.3. Загальний порядок дослідження стійкості
Дослідження стійкості пластини за описаною методикою розпадається на етапи, які виконуються в такій послідовності:
1. Розв'язування плоскої задачі методом скінченних елементів та визначення зусиль початкового рівноважного стану в кожному елементі.
2. Визначення нормальних переміщень у вузлах сітки скінченних елементів як для плити від одиничного нормального навантаження, що прикладається послідовно в кожному вузлі, методом скінченних елементів для побудови матриці Гріна.
3. Визначення нормальних переміщень у вузлах пластини за допомогою матриці Гріна з метою побудови системи лінійних алгебраїчних рівнянь для нормальних переміщень вузлів.
4. Побудова рівняння стійкості з умови рівності нулю визначника одержаної системи алгебраїчних рівнянь та визначення коренів рівня