Моделювання та визначення з використанням побудованих функцій Гріна термопружного стану шаруватих тіл.

РОЗДІЛ 2
ПІДХОДИ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СТАТИЧНИХ І КВАЗІСТАТИЧНИХ ЗАДАЧ ТЕРМО­ПРУЖ­НОСТІ ДЛЯ
ШАРУВАТИХ ТІЛ
З ВИКОРИСТАННЯМ ФУНКЦІЙ ГРІНА
В цьому розділі будуються інтегральні подання розв’язків широкого класу задач
теплопровідності, статичних і квазістатичних задач термопружності для шаруватих
тіл.
Інтегральні по­дання для температури отримуються за припущення, що відомі
функцій Гріна від­по­відних задач теплопровідності за умов конвективного
теплооб­міну. Ілюструється на задачі теплопровідності для шару, коли в
се­редині однієї з його складо­вих є включення паралепіпедіальної форми,
застосування цих по­дань для отри­мання граничних інтеграль­них рівнянь
шаруватих тіл з включеннями. Наводяться спосіб зведення до
інтегро-диференціальних та граничних інтег­ра­льних рівнянь на змінну Кірхгофа
не­лінійних задач теп­ло­провідності та точні роз­в’я­зки тестових стаціонарних
однови­мірних задач теплопровідності з температуро­залежним коефіцієнтом
теплопровід­ності.
Для подання розв’язків задач термопружності використовуються два підходи.
Пе­рший, за припущення, що відомі функції Гріна від­по­відних задач пружності,
орі­єнтований на визначення переміщень зумовлених температурним полем,
масови­ми силами і поверхневими навантаженнями з урахуванням температурної
залежно­сті температурних коефіцієнтів лінійного розширення (ТКЛР) та на
отримання інте­г­ра­льних рівнянь при відповідному трактуванні зовнішньої дії,
наприклад, задач те­р­мопружності для шаруватих тіл з урахуван­ням
температурозалежності усіх ФМХ, тіл з порожнинами, включеннями.
Іншим підхід поширюється на задачі термопружності з відокремлювальними
змін­ни­ми. Ним визначається термопружний стан, зумовлений тем­пе­ратурними
по­ля­ми, які допускають представлення у вигляді інтегралів Ганкеля або Фур’є.
Буду­ються функції Гріна задач термопружності. В задачах для тіл з плоско
паралельни­ми границями враховується дія ма­сових сил.
2.1. Застосування функцій Гріна до розв’язування задач теплопровідності
Розглянемо кусково-однорідне тіло, яке перебуває під тепловою і силовою дією.
Припускаємо, що його складові частини ідеально контакту­ють, вплив механіч­ної
ене­ргії на теплову не істотний, а швидкість поширення теп­ла нескін­че­но
велика. Якщо складові частини ортотропні, то для визна­чен­ня нестаціонарного
тем­пе­ратур­ного поля використовують за вихідні рівняння тепло­про­відності
неоднорідного тіла в найбільш часто вживаних ортого­нальних системах
координат:
у прямокутній
; (2.1)
у циліндричній
; (2.2)
у сферичній
.(2.3)
Тут коефіцієнти теплопровідності в напрямку осі відповідної системи
коо­ор­ди­нат і об’ємна теплоємність є кусково-сталими функціями координат; –
кіль­кість тепла, яке виробляється в одини­ці об’єму за одиницю часу джерелами;
– час; похідні по координатах – уза­гальнені;
Зауважимо, що при врахуванні температурної залежності теплофізичних
хара­к­теристик вигляд рівнянь (2.1) – (2.3) не зміниться.
Для однозначності розв’язку задач необхідно до рівнянь (2.1) – (2.3) долу­чити
початкову умову
, (2.4)
де точка належить об’єму тіла, і граничні умови, серед яких виділимо чотири:
Гранична умова першого роду
, (2.5)
точка належить поверхні тіла ; – задана функція.
Гранична умова другого роду
, (2.6)
де компоненти вектора теплового потоку визначаються співвідношеннями:
, , – у декартовій,
, , – у циліндричній,
, , – у сферичній системах координатах; , , – компоненти вектора зовнішньої
нормалі до поверхні тіла.
3. Гранична умова третього роду або умова конвективного теплообміну
, (2.7)
де – коефіцієнт тепловіддачі з поверхні .
4. Умова конвективно-променевого теплообміну
, (2.8)
де – стала Стефана-Больцмана; – коефіцієнт тепло­вого випромінювання поверхні;
­- температура випромінювача.
Для визначення стаціонарного температурного поля функції, які входять у
рів­нян­ня (2.1) – (2.3) і граничні умови (2.5) – (2.8), необхідно розглядати,
як незалеж­ни­ми від часу.
При розв’язуванні стаціонарних чи нестаціонарних задач теплопровідності
ви­ходитемо з припущення, що може­мо знайти розв’язки деяких спеціальних задач,
якими є задачі на визначення температурного поля, зумовленого точковим чи
мит­­тєвим джерелом тепла за відповідних однорідних граничних умов. Їх
розв’я­зки на­зивають функціями Гріна. Якщо функції Гріна відомі, то
розв’язання ви­хідних за­дач зводиться до обчислення квадратур або до
розв’язання граничних інтег­ра­льних та інтегро-диференціальних рівнянь.
Проілюструємо це на прикладах як лінійних, так і нелінійних задач
теплопровідності.
Лінійні задачі теплопровідності. Нехай шарувате ті­ло, яке за­й­має об’єм ,
складене з ортотропних шарів з плоско­пара­лельни­ми межами по­ді­лу, має
початкову темпера­туру і нагрівається внут­рі­шніми джерелами теп­ла потужності
. Че­рез зовнішні по­ве­р­хні тіла , здійснюється конвективний тепло­обмін з
навко­лишнім середо­ви­щем, темпе­ратура якого відповідно ({ , , }, ).
Для визначання нестаціонарного температурного поля використовуємо рівнян­ня
(2.1) при початковій умові (2.4) і граничних умовах
, , , ,
, , (2.9)
де коефіцієнти теплопровідності , , і об’ємна теп­ло­є­мність мають вигляд
; (2.10)
, – відносні коефіцієнти тепловіддачі; – поверхня поді­лу - го та -го шару; –
функція Гевісайда.
Припустимо, що можемо знайти розв’язок задачі