РАЗДЕЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ АНАЛИЗА ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ТЕЛ ПРИ ИХ ОТКЛОНЕНИИ В МАЛОМ ИЗ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
В данном разделе представлена математическая постановка задачи о деформировании пространственных тел в условиях высокотемпературной ползучести, которые в определенный момент времени могут получить малые отклонения, выводящие их из основного состояния равновесия. Такие задачи отвечают проблеме определения влияния предварительной ползучести элементов машиностроительных конструкций на изменение их свойств при малых свободных колебаниях около устойчивого равновесия и проблеме устойчивости основного состояния равновесия в условиях ползучести.
2.1. Общая постановка задачи
Рассмотрим общую постановку задачи о деформировании пространственных тел в условиях высокотемпературной ползучести. С этой целью примем, что ползучесть тела является его основным состоянием, а малые колебания и потеря устойчивости являются следствием возможного появления в некоторый момент времени так называемых смежных состояний, близких к основному. Основное состояние тела при статическом и циклическом нагружении под действием внешних сил опишем известными соотношениями континуальной теории ползучести с повреждаемостью. Смежные состояния будем рассматривать как появляющиеся вследствие малых "возмущений" основного состояния в произвольный, наперед заданный момент времени.
Примем, что вследствие "возмущения" основного состояния смежные состояния в телах отвечают либо их свободным колебаниям, либо потере устойчивости. Кроме того, примем, что смежные состояния представляют собой отклик деформируемого тела на внешнее возмущение, которое происходит мгновенно, в масштабе "быстрого" времени.
В системе координат , рассмотрим произвольное тело объемом V, закрепленное на части поверхности S1, которое под действием объемных и приложенных к нему на части поверхности S2 поверхностных сил, интенсивности которых g и p, соответственно, деформируется при ползучести. Как обычно, медленное движение точек материального континуума определим вектором перемещений , а их деформирование установим связью перемещений с компонентами симметричного тензора деформаций и связью тензоров деформаций с тензором напряжений . В дальнейшем примем, что полные деформации в точке тела складываются из обратимых упругих и температурных деформаций , необратимых деформаций ползучести , так что .
В рамках Лагранжевого описания деформирования, геометрические соотношения, связывающие компоненты тензора деформаций и вектора перемещений, примем в общем виде
. (2.1)
Далее учтем, что при малом возмущении основного состояния ui0 в деформируемом теле возможен переход в смежное состояние с дополнительными малыми перемещениями ui*. В возмущенном состоянии перемещения точек тела примем равными сумме перемещений в основном и смежном состояниях, так что . С точностью до величин второго порядка малости, как следует из геометрических соотношений (2.1), деформации в точке тела в возмущенном состоянии будут связаны с перемещениями так:
. (2.2)
В дальнейшем, в обозначениях параметров, характеризующих основное напряженно-деформированное состояние в теле, введем верхний индекс -"0".
Математическая постановка начально-краевой задачи для определения основного напряженно-деформированного состояния тела, отвечающего ползучести, представляется следующей системой уравнений:
; x V;
; x S2;
; x V; (2.3)
; x S1;
где - внешняя единичная нормаль к поверхности тела;
, - тензоры, которыми определяют свойства термоупругости материала при известных распределениях температуры и ее перепада в теле;
- значения перемещений точек закрепленной поверхности.
Для удобства изложения, в дальнейшем, воспользуемся векторными представлениями параметров напряженно - деформированного состояния:
; ;
; ;
; (2.4)
; .
Далее, для определения параметров основного состояния в некоторый произвольный момент времени, при известных распределениях температурных полей, нагрузок и необратимых деформаций ползучести, воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно которому для имеет место следующее вариационное равенство:
, (2.5)
где
- возможные перемещения точек тела при основном состоянии, удовлетворяющие главным кинематическим условиям,
- кинематические соотношения, отвечающие связи (2.1) для тела в основном его состоянии
, (2.6)
здесь подчеркнутое слагаемое сохраняется при геометрически нелинейном деформировании тела в основном состоянии и может быть опущено при геометрически линейном деформировании тела.
Из вариационного равенства (2.5), для рассматриваемого момента времени, следуют статические уравнения из системы (2.3). Их можно получить, например, путем непосредственного варьирования и использования формул Гаусса - Остроградского. При этом в рассматриваемый момент времени вариации температурных и необратимых деформаций ползучести следует принять равными нулю, т.е. , .
Таким образом, основное состояние в произвольный момент времени отвечает условию стационарности вариационного функционала типа Лагранжа, соответствующему условию равновесия тела при ползучести в каждый момент времени при вполне определенных накопленных к этому времени необратимых деформациях ползучести.
Для описания основного состояния при тепловой ползучести, воспользуемся уравнениями состояния теории ползучести Работного - Качанова [69, 14, 15]. Уравнения состояния в этом случае имеют вид тензорно-линейных соотношений:
, (0) =0, (2.7)
, , d0(0)=0, d0(t*)=,
в которых принято:
- эквивалентная скорость деформации ползучести;
- эквивалентное напряжение, отвечающее интенсивности напряжений Мизеса;
d0 - параметр повреждаемости, вследствие ползучести;
d*, t* - зн