РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА ВАРИАЦИОННО-СТРУКТУРНОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОЛЕБАНИЙ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК В РАМКАХ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
2.1 Уравнения движения. Основные соотношения
Рассмотрим многослойную тонкую оболочку постоянной общей толщины , собранную из произвольного числа однородных анизотропных слоев также постоянной толщины (рис.2.1). Рассматриваемая оболочка является пологой, очерченной по некоторой части произвольной поверхности с гауссовой кривизной, отличной от нуля. Для такой оболочки приближенно принимается, что внутренняя геометрия срединной поверхности ничем не отличается от евклидовой геометрии на плоскости [8]. Таким образом, для данной оболочки, представленной в ортогональной системе координат , первая квадратичная форма срединной поверхности с достаточно высокой точностью представится формулой [8]:
Будем считать, что главные кривизны срединной поверхности и при дифференцировании ведут себя как постоянные.
Координатная поверхность может проходить внутри какого-либо -того слоя или, в частности, может совпадать с какой-либо из поверхностей контакта слоев или граничных поверхностей оболочки. Пусть число всех слоев оболочки равно , причем - число слоев ниже координатной поверхности , - число остальных слоев.
Постановка задачи в рамках классической теории [8] основывается на гипотезе недеформируемых нормалей, принятой для всего пакета оболочки в целом.
Согласно классической теории Кирхгофа- Лява:
1) прямолинейный элемент нормали к координатной поверхности остается прямолинейным и нормальным к ней при деформировании оболочек, сохраняя при этом свою длину;
2) нормальные напряжения на площадках, параллельных координатной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями на площадках, перпендикулярных этой поверхности.
Таким образом, имея деформации удлинения и сдвига, а также параметры, характеризующие изменения кривизны и кручения срединной поверхности оболочки, можно определить деформации и перемещения любого слоя оболочки. При этом все характеристики деформации и перемещения каждого слоя получаются из перемещений срединной поверхности некой приведенной однородной анизотропной оболочки.
Пусть срединная поверхность пологой оболочки отнесена к прямоугольной системе координат, причем оси и совмещены с направлениями линий главных кривизн оболочки, а ось направлена по нормали к срединной поверхности. Гипотеза недеформируемых нормалей может быть заменена следующими равенствами:
, , , (2.1)
или для отдельного - того слоя оболочки:
, , . (2.2)
Как показано в [8], если положить при , , , то перемещения в любой точки оболочки имеют вид:
,
,
, (2.3)
где - перемещения соответствующей точки срединной поверхности.
Отметим, что линейное распределение перемещений (2.3) влечет автоматическое выполнение условий жесткого контакта слоев для перемещений.
Таким образом, гипотеза недеформируемых нормалей, данная для всего пакета оболочки в целом, безотносительно к слоистости, приводит к обычной геометрической модели деформирования однородной оболочки. Вследствие этого деформации отдельных слоев могут быть представлены в виде:
, , , (2.4)
где - относительные деформации удлинения и сдвига координатной поверхности;
- относительные изменения главных кривизн и , характеризующие деформацию изгиба;
- относительная деформация кручения.
Причем:
, ,
, , , . (2.5)
Из обобщенного закона Гука следует, что
Решая эти уравнения относительно составляющих тензора напряжений в каждом слое оболочки, с учетом (2.4), найдем
(2.6)
где для коэффициентов каждого слоя оболочки имеем
Записывая через упругие постоянные -го слоя, получим
(2.7)
где - модули упругости,
- -модуль сдвига,
- коэффициенты Пуассона,
- коэффициенты взаимного влияния.
В соответствии с принятыми допущениями о характере деформации тонкой пологой оболочки вводятся интегральные характеристики компонент тензора напряжений - усилия и моменты
, ,
, ,
, , (2.8)
, .
Подставляя значения напряжений из (2.6) в (2.8), получим выражения для усилий и моментов
(2.9)
Величины называются жесткостными характеристиками. В случае, если оболочка составлена из произвольного числа слоев, они определяются как [8]
. (2.10)
В случае, если оболочка составлена из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности, жесткостные характеристики имеют вид [8]
(2.11)
Если главные направления упругости материала каждого слоя имеют одинаковую ориентацию, имеем оболочку из параллельно армированного материала, однако структура оболочки может и не быть симметричной, так как слои могут иметь различные толщины и упругие свойства. Для оболочек, собранных из ортотропных слоев, главные направления упругости которых совпадают с координатными, коэффициенты и зануляются, т.е. .
Говорят, что оболочка имеет ортогонально армированную структуру, если она состоит из произвольного числа слоев из одного ортотропного материала с чередующимися углами армирования по отношению к направлениям и .
Прикладной интерес представляют оболочки из перекрестно армированных материалов. Оболочки данного вида состоят из произвольного числа слоев, имеющих одинаковую толщину и изготовленных из ортотропного материала с чередующимися углами армирования . С увеличением числа слоев при неизменной толщине пакета абсолютные значения жесткостных параметров уменьшаются. Следует отметить, что структура перекрестно армированной оболочки в общем случае не является самоуравновешенной, так как для нечетного числа слоев : , , , , в случае четного числа слоев , , .
В случае, когда главные направления упругости не совп