Матриці Гріна рівнянь і систем еліптичного типу для дослідження статичного деформування складених тіл

РОЗДІЛ 2
МЕТОД ПОБУДОВИ ФУНКЦІЙ І МАТРИЦЬ ТИПУ ГРІНА РІВНЯНЬ
І СИСТЕМ ЕЛІПТИЧНОГО ТИПУ ДЛЯ СКЛАДЕНИХ ПЛАСТИНЧАТИХ
ТА ОБОЛОНКОВИХ ТІЛ
У даному розділі викладено загальну методику та основні методи досліджень, що
будуть застосовуватися, а також визначено ступінь наукової новизни в
математичному плані дисертаційної роботи в порівнянні з вже відомими працями в
даному напрямку.
Як відзначалося в [45], застосування методів теорії потенціалу дозволяє досягти
істотних спрощень та підвищує вірогідність розв’язків крайових задач
математичної фізики про визначення напружено-деформованого стану складених
тонкостінних об’єктів з пластин і оболонок.
Розглянемо таке тіло, складене з послідовно спаяних оболонок чи пластин-секцій.
Система диференціальних рівнянь еліптичного типу, що описує пружну рівновагу
кожної з таких секцій може бути записана у вигляді (у загальному випадку):
(2.1)
квадратна матриця третього порядку лінійних диференціальних операторів вигляду
вектори переміщень і зовнішнього поверхневого навантаження (у деякому масштабі)
відповідно;
б, в – криволінійні координати точок серединної поверхні оболонки;
Щ – область, на якій відшукується розв’язок задачі.
Крайові умови, які мають місце на зовнішніх краях складеного тіла, можуть мати
вигляд (також у загальному випадку):
на С, (2. 2)
де –
матриця лінійних диференціальних операторів, за допомогою якої задаються
крайові умови;
С – межа області Щ.
Крайові умови можуть бути умовами жорсткого затиснення, симетрії та іншими.
Нехай оболонкові (пластинчаті) секції з’єднуються вздовж ліній б = ± а. В
місцях з’єднання слід сформулювати відповідні задачі умови з’єднання секцій.
Згадані умови можуть мати вигляд [40]
(2. 3)
де N, S – нормальне та зсувне зусилля відповідно,
Q – поперечна сила;
М – згинальний момент;
н – номер секції в складеній конструкції, а шляхом наддруку позначено вектори.
Далі метод розв’язання задачі може мати наступний вигляд [45], [48].
Розв’язок задачі (2.1) – (2.3) можна відшукувати методом відокремлення змінних
шляхом тригонометричних розкладів
(2. 4)
де
Підставивши (2.4) в (2.1), отримаємо:
(2.5)
Внаслідок лінійності оператора виявляється, що
де - матриця відповідних звичайних диференціальних операторів. Тому рівняння
(2.5) у випадку почленного застосування оператора в лівій його частині
перетворюється на послідовність систем звичайних диференціальних рівнянь
(2.6)
причому (2.7)
де dm = {1/2 при m = 0; 1 при m > 0}.
Через ( і = 1, 2, …, 8) умовимося позначити відповідні елементи фундаментальної
системи розв’язків звичайних диференціальних рівнянь (2.6), яка може бути
знайдена в явному аналітичному вигляді, або апроксимована чисельно. Загальний
розв’язок системи (2.6) набуде при цьому вигляду
(2.8)
де – частковий розв’язок системи (2.6), який, користуючись відомим методом
варіації довільних сталих, знаходимо, наприклад, у вигляді
(2.9)
де X1 m = Xm ; X2 m = Ym ; X3 m = Zm ;
(2.10)
- детермінанти та відповідні їх алгебраїчні доповнення системи лінійних
алгебраїчних рівнянь відносно невідомих dСim/da, що утворюються при
застосуванні методу варіації довільних сталих
(2.11)
Позначимо через матрицю лінійних диференціальних операторів, за допомогою якої
додаткові умови (2.2), (2.3) запишуться скорочено
(2.12)
Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що визначає сталі гim з (2.8) тоді
запишеться у вигляді
(2.13)
де
– кількість секцій в складеній конструкції.
Розв’язуючи систему (2.13) одержимо (для кожної з секцій, що входять до складу
складеного об’єкта) представлення
(2.14)
де - елементи матриць Гріна задач (2.12) для систем (2.6). При цьому елементи
регулярних частин матриць Гріна з (2.13), (2.9), (2.10) визначаються формулами
(2.15)
де
та - детермінант системи (2.13) та відповідні його алгебраїчні доповнення.
Врахування представлень (2.4), (2.7) приводить до матриць Гріна (б, в, о, з)
задачі (2.2), (2.3) для систем (2.1) ( – номер секції в складеному об’єкті):
(2.16)
Матриці Гріна типу (2.16) будуються за викладеною вище схемою для кожної з
секцій складеного тіла.
Тоді шуканий розв’язок задачі (2.1) – (2.3) визначається формулою:
(2.17)
Точність отриманих таким способом результатів можна оцінити за допомогою
відхилу розрахункового навантаження від заданого [48].
Оскільки похибка обчислень виявляється незначною, то згаданий відхил
утворюється виключно внаслідок знехтування неврахованою частиною (залишком)
розкладу навантаження. Отже при застосуванні навантажень, що добре
апроксимуються тригонометричними поліномами відпо­відного порядку, досягається
висока точність.
Похибка розв’язку задачі типу (2.1) при довільних однорідних додаткових умовах
(2.2), (2.3) може бути надійно оцінена також за допомогою побудованих матриць
Гріна для розглянутої задачі. Для того, щоб переконатися в цьому, досить
звернути увагу на нерівність, яку неважко отримати:
(2.18)
де - точний і наближений розв’язок розглянутої задачі;
- її матриці Гріна;
- задані та розрахункові праві частини сис­тем (2.1).
Таким чином, вище було викладено метод побудови функцій і матриць Гріна для
задач математичної фізики про статичне деформування складених пластинчатих та
оболонкових об’єктів, що описуються рівняннями і системами еліптичного типу. Ще
раз зазначимо, що основні ідеї згаданого методу було запропоновано у роботах
[40], [45], [47], [48]. Автору даної дисертаційної роботи належить узагальнення
(на основі ідей, викладених в [40], [47]) розрахункової схеми, наведеної у
[45], на випадок