РОЗДІЛ 2
Визначення нестаціонарних температурних полів у БАГАТОЗВ'ЯЗНИХ пластинках НА
ОСНОВІ ІНТЕГРАЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА ТА МЕТОДУ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
2.1. Уточнені та регуляризовані формули обернення Лапласа і їх тестування.
У роботі для розв'язування нестаціонарних задач теплопровідності буде
використано перетворення Лапласа з подальшим застосуванням формули обернення,
яка ґрунтується на точній формулі Пруднікова А. П., що пов'язує значення
оригіналу та зображення (1.1). Для підвищення ефективності цієї формули
необхідно обчислювати ряди типу Фур'є, що містять зображення Лапласа з
контрольованою точністю та враховувати складову, в яку входять значення
оригіналу. Цю формулу будемо застосовувати для окремого класу функцій, коли
відомими є зображення Лапласа, значення оригіналу та його похідних у початковий
момент часу та асимптотичне значення оригіналу на нескінченності. Крім цього,
будемо розглядати тільки неперервні разом з похідними оригінали. Зазначимо, що
до вказаного класу належать розв’язки нестаціонарних задач теплопровідності.
Нижче наведено підхід, який дає змогу для розглянутого класу функцій
покращувати збіжність рядів, що дозволяє обчислювати їх з контрольованою
точністю. Уточнення формули здійснюється шляхом урахування асимптотич-них
властивостей оригіналу.
2.1.1. Покращання збіжності рядів. Як правило, ряд у формулі (1.1) збігається
повільно. Це пов'язано з тим, що для широкого класу функцій , причому за
великих значеннях ряд знакозмінний. Тому при розрахунках з використанням
формули (1.1) для обчислення ряду необхідно утримувати в ньому велику кількість
членів.
Як приклад розглянемо зображення, яке задано формулою , де . Зауважимо, що
оригіналом для цього зображення є функція , де - функція Бесселя першого роду.
У розрахунках приймали , , і нехтували залишковим членом. Зазначимо, що за
таких значень параметрів цей доданок є невеликим.
У таблиці 2.1 наведено відносні похибки (у процентах) підрахованих значень
оригіналу за формулою (1.1) при різних кількостях членів ряду. Значення
аргументу наведено у першій колонці. У другій – п'ятій колонках подано
результати розрахунків при .
Таблиця 2.1. Відносні похибки визначення функції за формулою (1.1).
N=100
N=1000
N=10000
N=100000
2.50
24.8419
1.9993
-.2834
-.5118
7.50
-1.4128
.5100
.7023
.7215
12.50
-2.3835
.2579
.5228
.5493
17.50
4.4559
1.6150
1.3284
1.2997
22.50
1.8287
1.0137
.9291
.9206
27.50
-282.7624
-66.6072
-45.8820
-43.8177
32.50
9.4980
2.0344
1.2996
1.2262
37.50
45.6721
5.1456
1.1313
.7301
42.50
-117.8369
-10.2671
.4231
1.4918
47.50
-423.0438
-41.2470
-3.1337
.6772
Отже, у розглянутому випадку для забезпечення точності ~ 1% необхідно
утримувати до 10000 членів ряду.
При неврахуванні залишкового члена розрахунки доцільно проводити для деякого
дійсного значення та комплексного . Позначимо знайдені значення оригіналу при
цих значеннях за нехтування залишковим членом через і . Тоді , , де , . Звідси
видно, що і є одного порядку за величиною . Покладемо за нове наближення
значення оригіналу
. (2.1)
Похибка формули буде , звідси . Таким чином маємо оцінку
, де при . (2.2)
Отже, при неврахуванні залишкового члена середнє значення відрізняється від
оригіналу з похибкою порядку в раз меншою ніж або .
Виконаємо аналогічні розрахунки при для двох значень параметра : і . Результати
розрахунків, виконані за формулою (1.1), наведені у таблиці 2.2, де у першій
колонці наведено значення параметра , у другій і третій колонках – значення у
процентах від–носної похибки оригіналу , обчислені відповідно при та , у
четвертій колонці наведена аналогічна похибка для середнього значення , у
п'ятій –подано cереднє значення функції , обчисленої при та , у шостій – точне
значення розглядуваної функції. Кількість членів ряду 00.
Таблиця 2.2. Результати розрахунків функції залежно від параметра .
2.50
-.2834
.7397
.2281
-.0484
-.0485
7.50
.7023
-.7185
-.0081
.2663
.2663
12.50
.5228
-.5459
-.0116
.1469
.1469
17.50
1.3284
-1.2949
.0167
-.1031
-.1031
22.50
.9291
-.9563
-.0136
-.1615
-.1615
27.50
-45.8820
27.2581
-9.3119
-.0010
-.0009
32.50
1.2996
-1.0787
.1104
.1339
.1341
37.50
1.1313
-.6823
.2245
.0717
.0719
42.50
.4231
-.7729
-.1749
-.0788
-.0787
47.50
-3.1337
3.0028
-.0655
-.1061
-.1060
50.00
48911.06
-48911.14
-.0416
.0558
.0558
Аналіз результатів показав, що для досягнення відносної похибки , меншої до 1%,
необхідно вибирати . Зазначимо, що при цьому зростання відносних похибок
відбувається у точках, де функція є малою величиною (див. також далі табл.2.3),
зокрема в точці . Наведені у четвертій та п'ятій колонках результати вказують
на ефективність при розрахунках формули (2.1). У всіх випадках точність дещо
погіршується при , які близькі до , що необхідно враховувати при обчисленнях.
Збільшення кількості членів ряду до не привело в даному випадку до підвищення
точності, оскільки у формулі (1.1) знехтувано членом , що привело до появи
неусувної похибки формули обернення. Тому значний інтерес становить задача
покращення збіжності ряду в (1.1). Крім цього у розглядуваному прикладі вдалось
досягнути точності збільшенням кількості членів ряду тому, що зображення
обчислювалось за точною формулою практично без похибок. На практиці дуже часто
зображення знаходять наближено (наприклад, у роботі це будуть розв'язки
інтегральних рівнянь). У таких випадках для ефективності формул обернення
доцільно використовувати швидкозбіжні ряди, які дозволяють уникати додаткових
неконтрольованих похибок, що виникають при знаходженні рядів зі знайденими
наближен
- Київ+380960830922