РАЗДЕЛ 2
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ МЕМБРАН
В данном разделе рассматриваются импульсные воздействия сосредоточенных нагрузок на прямоугольные мембраны. Вначале рассмотрены соответствующие прямые задачи математической физики, целью которых является исследование нестационарных колебаний мембран под действием известных нагрузок. Представлена теория решения обратных задач, в результате решения которых осуществляется определение воздействующих на мембрану нагружений в предположении заданности закона ее колебания в одной из точек. При решении задач идентификации используются специализированные регуляризирующие алгоритмы. Аналогичный подход применяется при решении задачи по управлению колебательным процессом мембраны.
2.1. Решение задачи о воздействии на мембрану импульсных сосредоточенных нагрузок
Рассматривается прямоугольная мембрана, ограниченная прямыми x=0, x=l, у=0, y=m, (рис. 2.1).
Задача о колебаниях мембраны [5]сводится к решению уравнения
,(2.1)с начальными условиями
(2.2)и краевыми условиями, заданными на границе прямоугольника
,(2.3)где u - нормальные перемещения точек мембраны; а - скорость распространения деформационной волны в мембране; - внешняя нагрузка.
Рис. 2.1. Схема нагружения мембраны.
Предположим, что внешняя нагрузка интенсивности P(t) сосредоточена в точке (x0 , y0)
,(2.4)где ? - удельная плотность мембраны, ?(x) - дельта-функция Дирака
Для отыскания решения уравнения (2.1), удовлетворяющего краевым условиям (2.3) разложим искомую функцию в виде следующего ряда
.(2.5) Решение задачи о вынужденных колебаниях прямоугольной мембраны в случае воздействия на нее сосредоточенной силы будет иметь вид:
(2.6)где fkn и Fkn - коэффициенты разложения функций f(x, y) и F(x, y) в двойные ряды Фурье
а остальные величины таковы
, .
В случае, когда возмущающая сила изменяется во времени как функция Хевисайда
,(2.7)где q - интенсивность приложенной нагрузки, H(t) - функция Хевисайда, и в предположении нулевых начальных условий (рассматривается только влияние возмущающей силы на колебательный процесс), согласно (2.6) решение уравнения (2.1) можно записать
.(2.8) Представленная формула определяет перемещения точек прямоугольной мембраны при воздействии на нее сосредоточенной в точке (x0, y0) нагрузки.
Для численного расчета прогиба мембраны, согласно формулы (2.8), принимались следующие исходные данные: удельная плотность ?=7.8 кг/м2, скорость распространения поперечных волн деформации a=2800 м/с, габариты мембраны l=0.4 м, m=0.6 м, координаты приложения сосредоточенной силы
x0=0.3 м, y0=0.4 м, интенсивность действующей нагрузки q=105 Н.
Двойные ряды Фурье при численном решении были заменены частичными суммами рядов. При этом учитывалось в каждом направлении lim членов ряда,
где lim конечное число, величина которого определялась в процессе численных экспериментов на основе критерия практической сходимости рядов.
Для простоты расчета величина lim принималась в рядах как по переменной x, так и по y одинаковой, что вполне правомочно, поскольку размеры мембраны в направлении осей Ox и Oy одного порядка. Исследования показали, что расчеты при заданных параметрах мембраны и изучаемых нагрузках можно производить при lim=75. На рис. 2.2 и 2.3 представлены результаты выполненных расчетов.
На рис. 2.2 показано изменение во времени прогиба в трех точках на мембране. Кривая 1 соответствует точке с координатами x = 0.1 м и y = 0.1 м, кривая 2 - точке с координатами x = 0.2 м и y = 0.3 м (это геометрический центр мембраны), а кривая 3 - точке, в которой приложена нагрузка (x0 = 0,3 м, y0 = 0.4 м). Вдоль оси абсцисс отложено время в единицах величины , где ??? находится как при k=1 и n=1.
На рис. 2.3 изображено распределение прогиба по поверхности мембраны для трех значений времени: рис 2.3 a соответствует 1/4 T; рис 2.3 б - 1/2 T;
рис. 2.3 в - 3/2 T.
Рис. 2.2. Изменение прогибов во времени.
Рис. 2.3. Распределение прогиба по поверхности мембраны
Из приведенных результатов следует, что максимальный прогиб имеет место непосредственно в точке приложения нагрузки, сопоставимые по значениям с максимальным прогибом можно наблюдать на фронте прямых и отраженных волн (их значения могут достигать 20-30% максимального прогиба). Рис. 2.3 хорошо отражает волновой характер деформирования мембраны (распространение прямых и образование отраженных от краев волн деформации).
В случае, когда возмущающая сила, сосредоточенная в точке и приложенная перпендикулярно поверхности мембраны, движется вдоль оси Ox от одного края мембраны до другого с постоянной по величине скоростью V, выражение для нагрузки, действующей на мембрану, будет иметь вид
.(2.9) Решение уравнения (2.1) для варианта нагружения (2.9) запишется в форме
(2.10)где ?=l/V, , .
Расчеты производились при исходных данных, принятых как и для случая с неподвижной силой. При расчетах рассмотрены несколько вариантов, соответствующих различным скоростям движения нагрузки. Установлено, что при значениях скоростей V< Совершенно иная ситуация наблюдается при движении нагрузки со скоростями V сопоставимыми с величиной a. В этом случае имеет место некоторая зона значительных прогибов, которая "движется" за нагрузкой, а после "снятия" нагрузки значения прогибов остаются того же порядка.
Укажем, что исследования нестационарных колебаний мембраны при скорости движения нагрузки V?a на основе излагаемой методики сопряжены с рядом трудностей вследствие ухудшения сходимости соответствующих двойных рядов Фурье и возникновения, по видимому, "паразитных колебаний", обусловленных явлением Гибса [55]. Для снижения уровня этих "паразитных колебаний" при проведении расчетов были ис
- Київ+380960830922