раздел 2
теоретические основы численной реализации
смешанного вариационного принципа рейсснера
2.1. Вариационные принципы теории упругости
Математическими постановками и способами, указанными в предыдущем разделе, не
исчерпываются возможные подходы к решению исследуемых краевых задач, так как
основные уравнения механики деформируемого твердого тела могут быть выражены в
трех эквивалентных формах: в локальной – при помощи дифференциальных уравнений,
в глобальной – с помощью интегральных уравнений и в вариационной форме. Формы
эти взаимосвязаны и могут быть выведены друг из друга. Например, если исходить
из вариационной постановки задачи, то после составления уравнений Эйлера
автоматически приходим к локальной форме. Обратное утверждение справедливо не
всегда, так как не всякое дифференциальное уравнение или систему
дифференциальных уравнений можно рассматривать в качестве уравнений Эйлера к
вариационной задаче для некоторого функционала. Чтобы имелась такая
возможность, дифференциальные операторы, входящие в различные группы уравнений
(каждая из которых составлена относительно своих тензоров и функций), должны
быть формально сопряженными [161 – 164].
Отмеченному условию удовлетворяют уравнения линейной теории упругости, а
именно, уравнения равновесия (статические уравнения) выражаются при помощи
оператора равновесия (по терминологии [162]), являющегося формально сопряженным
оператору геометрии, входящему в геометрические уравнения (уравнения Коши).
Можно показать [165], что свойство формальной сопряженности дифференциальных
операторов равновесия и геометрии – важнейшее свойство, присущее любым линейно
деформируемым системам. Оно носит статико-геометрический характер и не связано
с физическими соотношениями между внутренними усилиями (напряжениями) и
деформациями. Сопряженность операторов деформаций и уравнений равновесия для
теории оболочек Рейсснера показана в работе [166].
В научных исследованиях и расчетах закономерна распространенная практика замены
исходной задачи для дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями
эквивалентной вариационной задачей, построение приближенного решения которой
нередко проще и эффектнее получения решения исходной краевой задачи.
Большой вклад в развитие и практическое применение вариационных принципов
теории упругости внесли Н.П. Абовский, Л.Я. Айнола, В.Л.Бердичевский, К.
Васидзу, А.С. Вольмир, П.П. Ворошко, К.З. Галимов, А.Н. Гузь, Б.Я. Кантор, Р.
Курант, К. Ланцош, А.И. Лурье, Л.В. Масловская, С.Г. Михлин, П. Нагди, В.В.
Новожилов, В. Прагер, Э. Рейсснер, К. Ректорис, Л.А. Розин, В.И. Сливкер, И.Г.
Терегулов, Э. Тонти, К.Ф. Черных [40, 42, 61, 75, 96, 122, 123, 161, 163, 165,
167 – 174] и другие ученые.
За всем комплексом зависимостей и уравнений теории упругости (аналогично и для
теории оболочек) скрывается общий вариационный принцип, выявление которого
может быть основано на теории преобразования вариационных проблем,
разработанной Р. Курантом и Д. Гильбертом [168]. Эта теория позволяет поставить
в соответствие друг другу различные функционалы с дополнительными условиями и
построить полный функционал, из которого могут быть сформулированы частные
вариационные принципы.
В расчетной практике чаще всего применяются вариационный принцип Лагранжа
(принцип возможных перемещений или принцип минимума потенциальной энергии
упругого тела). Под возможными или виртуальными понимают перемещения в упругом
теле, при которых тело остается сплошным и удовлетворяются кинематические
краевые условия на его поверхности. Иначе говоря, возможные перемещения – это
перемещения, допускаемые кинематическими связями, наложенными на упругое тело.
При этом – непрерывные однозначные функции координат, равные нулю на тех
участках поверхности, где перемещения заданы.
Как известно, работа внешних объемных (массовых) и поверхностных сил на
соответствующих им виртуальных перемещениях точек упругого тела из
определяемого вектором положения равновесия равна вариации потенциальной
энергии деформации упругого тела [40]:
(2.1)
Задавая удельную потенциальную энергию упругой деформации (упругий потенциал)
квадратичной формой относительно компонент тензора деформации :
(2.2)
придем согласно равенству (2.1) к принципу возможных перемещений:
(2.3)
При выполнении соотношений Коши (1.8) варьированию в вариационном уравнении
Лагранжа (2.3) подлежат кинематически возможные перемещения , удовлетворяющие
краевым условиям (1.16) на части поверхности . Полная потенциальная энергия
системы
(2.4)
представляет собой функционал Лагранжа . Из принципа Лагранжа следует, что из
всех возможных перемещений действительными, соответствующими равновесию тела
при заданных внешних силах, будут те перемещения, при которых функционал
Лагранжа принимает стационарное значение. Уравнения Эйлера и естественные
краевые условия вариационной задачи о минимуме функционала – соответственно
уравнения равновесия и статические краевые условия, сформулированные через
перемещения.
Следующим важнейшим вариационным принципом теории упругости является принцип
возможных изменений напряженного состояния:
(2.5)
где удельная дополнительная работа
(2.6)
Для линейно-упругого тела справедливо равенство
(2.7)
На основании (2.6) и (2.7) равна по величине упругому потенциалу и, в
частности, для ортотропного тела имеет следующий вид:
(2.8)
В принципе возможных
- Київ+380960830922