ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
В этой главе дана общая математическая постановка сформулированной в диссертации задачи исследования. Записывается разрешающая система двухмерных уравнений теории упругости, описывающая процесс осесимметричного динамического деформирования упругих толстостенных цилиндрических оболочек со спирально ортотропными слоями. Формулируются начальные, граничные и контактные условия.
2.1. Разрешающая система уравнений
Уравнения движения для i-го слоя () приведенного на рис.2.1. объекта исследования, представляющего собой толстостенную многослойную цилиндрическую оболочку конечной длины со спирально ортотропными слоями, с учетом осевой симметрии в глобальной цилиндрической системе координат x,?,r, начало координат которой расположено в центре симметрии цилиндра, запишутся следующим образом.
Рис. 2.1. Объект исследования.
(2.1)
где - компоненты тензора напряжений,
- плотность материала -го слоя,
- время,
- компоненты вектора скорости перемещений.
Геометрические соотношения, выражающие тензор скоростей деформаций через вектор скорости перемещений, имеют вид:
(2.2)
где - компоненты тензора скоростей деформаций.
Система (2.1) - (2.2) замыкается физическими уравнениями. Индексы "i" у плотности и компонентов вектора скорости перемещений, напряжений и деформаций для краткости опущены.
Для численного решения данной задачи необходимо выразить напряжения через деформации. В [29] приведены физические уравнения, представляющие тензор деформаций через тензор напряжений. Требуемые уравнения можно получить, обращая соответствующую матрицу податливости из [29] в матрицу жесткости. Здесь приводится вывод физических уравнений в требуемом виде, то есть в виде напряжений записанных как функции деформаций.
Рассматриваемый толстостенный цилиндр со спирально ортотропными слоями (рис.2.1.) в каждой точке локально ортотропен. Обозначим его главные оси анизотропии . Оси повернуты вокруг оси r относительно соответствующих глобальных осей цилиндрической системы координат на некоторый постоянный в пределах рассматриваемого слоя острый угол ?i, который равен углу армирования, т.е. углу между образующей цилиндра и направлением навивки. Этот угол может быть различным для каждого слоя. В дальнейшем угол ? будем называть углом армирования, индекс "i" для краткости будем опускать.
Закон Гука для локально ортотропной среды в главных осях анизотропии имеет вид [29]:
(2.3)
где - компоненты тензора деформаций;
Еi - модули Юнга цилиндрически ортотропной среды в направлении ;
Gij - модули сдвига в плоскости ;
?ij - коэффициенты Пуассона, характеризующие сужение в направлении j? под действием силы приложенной в направлении i? ();
При этом выполняются равенства:
(2.4)
Здесь и далее верхние субиндексы "штрихи" при упругих характеристиках для краткости опускаются.
С учетом выражения (2.4) уравнения (2.3) примут вид:
(2.5)
где
(2.6)
.
Соотношения для получаются циклической перестановкой индексов .
Далее при помощи известных зависимостей [29] совершим поворот главных осей анизотропии и вокруг оси r на угол противоположный углу армирования ? таким образом, чтобы "новые" оси совместились с глобальными. Тогда "старые" компоненты тензоров напряжений и деформаций, выраженные через "новые" примут вид:
(2.7)
где - компоненты тензоров напряжений и деформаций в "новой" (глобальной цилиндрической) системе координат;
- компоненты тензоров напряжений и деформаций в "старой" (локальной) системе координат;
Подставим выражения (2.7) в (2.5). Решая полученную систему уравнений относительно компонент напряжений в "новых" координатах, получаем физические уравнения с учетом произвольного угла армирования слоя ?, которые в векторной форме выглядят так:
(2.8)
где С - квадратная матрица размерности 6?6 . Матрица С симметрична: . При этом ее ненулевые компоненты имеют вид:
(2.9)
и справедливы уравнения (2.4) и (2.6);
() - технические характеристики упругости ортотропного материала в главных осях анизотропии.
2.2. Начальные, граничные и контактные условия
Система уравнений (2.1), (2.2), (2.8) замыкается начальными, граничными и контактными условиями. Несмотря на наличие всех компонент перемещений, напряжений и деформаций, краевая задача будет осесимметричной в том смысле, что ни одна из ее переменных не будет зависеть от угловой координаты ?.
Начальные условия в данной задаче принимаются нулевыми:
(2.10)
где - компоненты вектора перемещений.
Граничные условия таковы:
1. Торцы цилиндра свободны.
(2.11)
2. Наружная поверхность цилиндра свободна от нагрузок:
(2.12)
3. На внутреннюю поверхность действует заданный импульс давления P(t):
(2.13)
Считаем что слои абсолютно жестко скреплены между собой, тогда условия контакта - го и - го слоев запишутся так (идеальный контакт):
(2.14)
где - радиус поверхности контакта. Нумерация слоев принята от внутреннего к наружному.
2.3. Критерий прочности
В данной работе предельное состояние материала описывается при помощи тензорно-полиномиального критерия прочности ч