РОЗДІЛ 2
ПЛОСКА ДЕФОРМАЦІЯ ПРУЖНОЇ БАГАТОШАРОВОЇ ПЛИТИ
ПІД ДІЄЮ ПЕРІОДИЧНОЇ СИСТЕМИ НАВАНТАЖЕНЬ
2.1. Постановка задачі
Під багатошаровою плитою будемо розуміти пакет пружних, невагомих, зчеплених між собою шарів. Шар - це частина простору, обмежена двома паралельними площинами. Матеріал шару є однорідним та ізотропним. Кожен шар характеризується товщиною та двома пружними константами - модулем зсуву та коефіцієнтом Пуассона . Також будемо використовувати величину . Сусідні шари зчеплені між собою. На верхній та нижній межах плити відомі навантаження. Треба визначити напруження та переміщення точок плити, якщо відомо, що плита знаходиться в рівновазі та перебуває в умовах плоскої деформації.
Рис. 2.1 Плоска деформація багатошарової плити
Шари будемо нумерувати зверху вниз. Нижній шар має номер . Усі величини, які відносяться до -го шару, будемо позначати відповідним індексом. У тих випадках, коли номер шару не вказано, формула застосовується для усіх шарів. У кожному шарі введемо декартову систему координат так, щоб початок координат знаходився на верхній межі шару. Усі осі направлені вниз та збігаються. Осі паралельні . Осі зорієнтовані так, щоб усі величини залежали лише від змінних . На рис. 2.1 зображена чотиришарова плита. Умовимось, що вектор переміщення характеризується координатами .
Задача, що розглядається, полягає в пошуку такого розв'язку системи диференціальних рівнянь лінійної теорії пружності для кожного шару плити
, (2.1)
який задовольняє умовам спряження шарів
. (2.2)
Відомі функції, що описують напруження на верхній та нижній межах плити, тобто
, .
Нагадаємо, що має місце закон Гука для кожного шару:
, ,
. (2.3)
Будемо вважати, що відомі з граничних умов задачі функції , періодичні. Так, оберемо одиницю довжини, щоб цей період дорівнював . Це означає, що і функції, які описують переміщення та напруження, також будуть періодичними з тим же періодом.
2.2. Дослідження деформації окремого шару
Розглянемо один із шарів. Розкладемо функції ,, в ряд Фур'є за змінною :
,
. (2.4)
. (2.5)
Підставимо перші два розвинення (2.4) в систему (2.1) і розділимо гармоніки, тобто прирівняємо коефіцієнти рядів Фур'є в обох частинах отриманих рівнянь. Отримаємо систему звичайних диференціальних рівнянь:
, ,
, .
, , (2.6)
Загальний розв'язок цієї системи має вигляд
, ,
, ,
. (2.7)
З закону Гука (2.3) випливає, що
, , , (2.8)
,,.
Введемо допоміжні послідовності шару
, ,
, ,
, ,
, ,
. (2.9)
Вони пов'язані з коефіцієнтами розвинень в ряди Фур'є напружень і переміщень на верхній межі цього шару:
,
, (2.10)
, .
Підставимо у вирази (2.4) та (2.5) і порівняємо отримані формули з (2.10). Будемо мати такі тотожності:
. (2.11)
При виведенні тотожностей враховувалось, що
Тут і далі штрих означає диференціювання за зміною . Із (2.11) ми отримаємо такі співвідношення:
У свою чергу підставимо ці вирази в співвідношення (2.7). Таким чином, отримаємо вирази функцій, які входять у розвинення (2.4), (2,5) напружень та переміщень в ряди, через допоміжні послідовності шару
,
, . (2.12)
Тут .
За допомогою формул (2.12) можна отримати явні вирази для напружень та переміщень в кожному шарі багатошарової плити.
(2.13)
Напруження обчислюється за формулою
(2.14)
Таким чином, для визначення напруженого стану шару достатньо знати вісім його допоміжних послідовностей.
2.3. Дослідження деформації пакету шарів
Тепер розглянемо спільну межу -го та -го шарів. З умов спряження (2.2) випливає, що
,
Це дає можливість записати рекурентні співвідношення між допоміжними послідовностями сусідніх шарів. Для нульової гармоніки
,,
, (2.15)
Для інших гармонік
.(2.16)
Тут .
Таким чином, для розв'язання будь-якої граничної задачі для багатошарової плити достатньо знати допоміжні послідовності першого шару. Інші допоміжні послідовності можна обчислити за наведеними вище формулами.
2.4. Матриці податливості багатошарової плити
Запишемо систему (2.15,2.16) у вигляді матричних рівнянь:
, (2.17)
. (2.18)
Тут введені такі матриці:
, ,
, , ,
,,
, .
Зауважимо, що мають місце такі матричні співвідношення:
Уведемо фіктивний шар з номером . Будемо вважати, що
Використовуючи рівняння (2.18), виразимо вектор через вектори та , потім через вектори та і так далі до та
Таким чином, отримаємо, що вектор є лінійною комбінацією незалежних векторів та . А це означає, що вектор є, у свою чергу, лінійною комбінацією векторів та . Те ж саме стосується і векторів . Запишемо ці залежності у вигляді:
, (2.19)
Введені тут матриці будемо називати матрицями податливості -го шару багатошарової плити.
Переходимо до їх визначення. Із першого рівняння системи (2.18) випливає, що
Порівнявши отриманий вираз з (2.19), робимо висновок, що для нижнього шару основи
. (2.20)
Для отримання рекурентних формул для матриць податливості обчислимо матрицю-вектор двома способами. З одного боку, згідно з (2.19)
а з іншого
Оскільки ці формули повинні збігатися для будь-яких векторів , то
, .
Це дає можливість встановити шукані рекурентні співвідношення:
(2.21)
Аналогічно виводяться рекурентні співвідношення для матриць . Вони будуть мати той самий вигляд (2.21), тільки над усіма елементами формул (2.20),(2.21) треба поставити тильди. Отже, матриці податливості можуть бути обчислені для усіх шарів основи.
Для нульової гармоніки . Фізично це буде означати, що шар буде знаходитися в рівновазі. Величинам можна надати будь-які значення.