РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ВИЗНАЧЕННЯ ТЕПЛОВОГО І ТЕРМОНАПРУЖЕНОГО СТАНІВ ТІЛ
КАНОНІЧНОЇ ФОРМИ ЗА НЕПОВНОЇ ІНФОРМАЦІЇ ПРО ТЕПЛОВЕ НАВАНТАЖЕННЯ. ОСНОВНІ
СПІВВІДНОШЕННЯ ТЕРМОПРУЖНОСТІ
У розділі побудовано нові математичні моделі для визначення одно- та
двовимірних нестаціонарних температурних полів та термонапружень в однорідних,
двошарових, двошарових з фрикційним теплоутворенням, неоднорідних і
термочутливих тілах канонічної форми за неповної інформації про теплове
навантаження та додатково відомої на частині граничної поверхні поведінки
параметрів напружено-деформованого стану. Для розглядуваних тіл наведено
аналітичні розв’язки відповідних прямих квазістатичних задач термопружності у
вигляді інтегральних залежностей компонент вектора переміщень від неявно
заданого температурного поля, які будуть використані у наступних розділах при
побудові розв’язків обернених задач.
Матеріали розділу викладені в працях [148–151, 313, 315, 317–330, 357, 373].
2.1. Прямі та обернені задачі термопружності
Розглянемо ізотропне пружне тіло, віднесене до прямокутної системи координат .
Припустимо, що теплові процеси у тілі зумовлені конвективним теплообміном з
навколишнім середовищем і наявністю внутрішніх теплових джерел, питома
потужність яких задається функцією . Якщо теплофізичні характеристики матеріалу
прийняти постійними, то температурне поле у точці області , яку займає тіло,
буде розв’язком наступної крайової задачі [122, 131, 193]:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
де – оператор Лапласа; – час; – координати точки ; – відповідно коефіцієнти
теплопровідності, температуропровідності і теплообміну з навколишнім
середовищем; – поверхня області ; – зовнішня нормаль до поверхні тіла; –
температура навколишнього середовища; – початковий розподіл температури.
З умови (2.2) шляхом відповідних перетворень можна отримати крайові умови
першого і другого роду, коли відомо температуру граничної поверхні або густину
теплового потоку через цю поверхню [122, 131, 193].
Для визначення термонапруженого стану тіла, зумовленого температурним полем ,
у випадку квазістатичної незв’язаної задачі термопружності при постійних
механічних характеристиках матеріалу і за відсутності масових сил скористаємося
рівняннями рівноваги [122, 131, 193]
, (2.4)
співвідношеннями Дюгамеля-Неймана
(2.5)
та Коші
(2.6)
за умов
, (2.7)
, (2.8)
де – відповідно компоненти тензорів напружень і деформацій; – компоненти
вектора переміщень; – модуль зсуву, коефіцієнти Пуассона і лінійного теплового
розширення; – символ Кронекера; – задані компоненти вектора поверхневих зусиль;
– задані компоненти вектора переміщень точок поверхні тіла; . У записаних вище
формулах приймається, що по індексах, які повторюються, здійснюється сумування
[122, 131, 193].
Рівняння термопружності (2.4)–(2.6) можна звести до рівнянь на компоненти
вектора переміщень [122, 131, 193]
(2.9)
У випадку кусково-однорідного тіла, коли область складається з різнорідних
підобластей з постійними теплофізичними і механічними характеристиками
матеріалу, рівняння (2.1),(2.4)–(2.6) повинні справджуватися у кожній із
підобластей . На поверхні контакту різнорідних підобластей повинні виконуватися
відповідні умови теплового і механічного спряження [222].
Якщо тіло вільне від зовнішніх силових навантажень, то напруження і
переміщення є спричинені дією лише температурного поля .
У циліндричній системі координат рівняння рівноваги (2.4) мають вигляд
,
,
, (2.10)
де – компоненти тензора напружень.
Співвідношення Дюгамеля-Неймана (2.5) і Коші (2.6) запишуться
,
; (2.11)
,
, (2.12)
де
,
, – коефіцієнти Ляме; – модуль Юнга; , , , , , , , , – компоненти вектора
переміщень та тензора деформацій.
Підставивши вирази (2.11),(2.12) у рівняння рівноваги (2.10), отримаємо
рівняння рівноваги у переміщеннях
(2.13)
де
.
У випадку осьової симетрії маємо , , і рівняння рівноваги (2.10) набувають
вигляду
,
. (2.14)
Співвідношення (2.11) і (2.12) відповідно запишуться
,
; (2.15)
,
. (2.16)
Рівняння рівноваги у переміщеннях (2.13) матимуть вигляд
. (2.17)
Запишемо також деякі рівняння для плоскої задачі термопружності у полярній
системі координат . Приймаючи до уваги, що у цьому випадку і , із рівнянь
(2.11)–(2.13) отримаємо
,
(2.18)
– співвідношення Дюгамеля-Неймана;
,
(2.19)
– співвідношення Коші;
(2.20)
– рівняння рівноваги у переміщеннях, де
.
У випадку полярної симетрії, коли , , формули (2.19), (2.20) матимуть вигляд
, (2.21)
, (2.22)
де .
Як випливає із формул (2.21),(2.22), плоска задача з полярною симетрією
розпадається на дві незалежні задачі: полярно-симетричну задачу, коли , , , , і
задачу кручення, коли , , .
Виходячи із співвідношення “причина–наслідок” усі величини, які входять у
рівняння та крайові умови (2.1)–(2.8), поділяють на дві групи. До першої групи,
яку складають причинні характеристики, відносять функції і коефіцієнти, які
входять у крайові (2.2), (2.7), (2.8) і початкову (2.3) умови, джерела тепла,
теплофізичні і механічні характеристики матеріалу, геометричні характеристики
тіла. У другу групу, яка включає наслідкові характеристики, входять
температурне поле, поля переміщень, напружень і деформацій.
Послідовне розв’язання задач (2.1)–(2.3) і (2.4)–(2.8) за відомих коефіцієнтів
і функцій, які входять у рівняння, граничні і початкові умови, називають прямою
задачею термопружності. Методи розв’язання прямих задач термопружності
систематизовані у монографіях [25, 122, 131, 193, 222].
Задачу, у якій за певною додатковою інформацією про поле переміщень
(деформацій, напружень) потрібно визнач
- Київ+380960830922