РОЗДІЛ 2
ВИЗНАЧЕННЯ КОНЦЕНТРАЦІЇ ВОДНЮ В ЕЛЕМЕНТАХ МЕТАЛОКОНСТРУКЦІЙ
Дія водню на метал забезпечує реалізацію умов, при яких міцність тіл буде зв'язана в першу чергу з закономірностями росту тріщин в матеріалах. Таким чином, використовуючи матеріали при взаємодії з воднем необхідно дати оцінку їхнього опору росту тріщин в даному середовищі, а дослідження закономірностей впливу водню на розвиток тріщин в металах набувають першочергового значення. Так як шкідливий вплив водню на елементи інженерних конструкцій безпосередньо залежить від його кількості в металі, то визначення концентрації водню в матеріалі є одним із головних етапів в побудові розрахункових моделей водневого руйнування металоконструкцій.
2.1. Визначення концентрації водню в зоні передруйнування біля вершини тріщини
Зона потенційних зароджень руйнування знаходиться всередині металу попереду магістральної тріщини. Тому далі пропонується постановка та розв'язок задачі дифузії водню в зоні передруйнування біля вершини тріщини. Раніше [68] подібна задача в дещо простішій постановці вже була розглянута, але без врахування попереднього наводнювання матеріалу, яке часто реалізується на практиці.
Розглянемо пружно-пластичне ізотропне тіло, яке початково рівномірно наводнене до деякого рівня концентрації водню і містить плоску тріщину розміром l в умовах симетричного відносно площини тріщини напруженого стану (рис. 2.1). Нехай зовні у тріщину попадає водневовмісне середовище, забезпечуючи таким чином в поверхневому шарі біля її вершини деяку концентрацію водню.
Рис. 2.1. Схема навантаженої у водневовмісному середовищі пружно-пластичної пластини із тріщиною.
Будемо шукати поле концентрацій водню в зоні біля вершини тріщини на основі узагальненого закону Фіка
. (2.1)
Апроксимуючи розподіл гідростатичного напруження на продовженні тріщини біля її вершини кусково-лінійною залежністю (рис. 2.2), в одновимірному випадку рівняння дифузії (2.1) зведеться до системи двох диференціальних рівнянь
(2.2)
Тут введені безрозмірні змінні
, , .
Рис. 2.2. Розподіл гідростатичної компоненти тензора механічних напружень біля вершини тріщини.
Взявши до уваги, що в точці ? = 1 повинні виконуватися умови неперервності потоку і концентрації водню
(2.3)
та вважаючи, що фізико-хімічні умови наводнювання металу в вершині тріщини забезпечують постійність величини концентрації водню в її поверхневому шарі, тобто представляючи граничну умову рівняння дифузії у вигляді
, (2.4)
визначимо розподіл концентрації водню в околі вершини тріщини з розв'язку задачі дифузії (2.2)-(2.4) при початковій умові
. (2.5)
Задача (2.2)-(2.5) з умовою обмеженості концентрації водню на безмежності
(2.6)
становить граничну задачу для диференціального рівняння в частинних похідних 2-го порядку параболічного типу з кусково-неперервними коефіцієнтами.
Застосовуючи до співвідношень (2.2)-(2.6) інтегральне перетворення Лапласа по безрозмірному часу ? [79]
, (2.7)
де - параметр перетворення Лапласа, зведемо задачу (2.2)-(2.6) до наступної крайової задачі для звичайного диференціального рівняння 2-го порядку з кусково-неперервними коефіцієнтами
(2.8)
граничні умови
(2.9)
,
, (2.10)
. (2.11)
Розв'язок задачі (2.8)-(2.11) будемо шукати у вигляді суми [80]
(2.12)
,
де , - розв'язки відповідних однорідних рівнянь системи (2.8), а , - часткові розв'язки відповідних неоднорідних рівнянь системи (2.8). Як відомо [80], розв'язки однорідних рівнянь такого типу можна записати у вигляді
(2.13)
,
де , - розв'язки відповідних характеристичних рівнянь
(2.14)
,
, , , - постійні інтегрування.
Функції , шукаємо у вигляді констант. Тоді підстановкою (2.12) в (2.8) легко показати, що . Таким чином розв'язок задачі (2.8)-(2.11) має вигляд
(2.15)
Константи , , , - визначаються з граничних умов (2.9)-(2.11). З умови обмеженості розв'язку на безмежності випливає . Підставивши розв'язок (2.15) в граничні умови (2.9), (2.10), отримаємо наступну систему трьох алгебраїчних лінійних рівнянь для визначення невідомих констант , ,
(2.16)
Розв'язавши систему (2.16) і підставивши знайдені значення , , , в розв'язок (2.15) отримаємо
(2.17)
Так як руйнування головним чином відбувається в області , то образ при нас мало цікавить.
Точний перехід до оригіналу від виразу (2.17) вимагає досить громіздких математичних перетворень і обрахунків. Тому обмежимося вивченням поведінки функції для двох граничних випадків значення часу, а саме при і . Тоді, взявши до уваги, що поведінка оригіналів при малих значеннях ? визначається поведінкою образів при великих значеннях p і навпаки, отримаємо
при , , , (2.18)
при , , . (2.19)
Вирази (2.18), (2.19) містять лише табличні образи. Отже, скориставшись таблицею перетворень Лапласа [79] будемо мати
(2.20)
, . (2.21)
Вирази (2.20), (2.21) є громіздкими і незручними для подальших розрахунків, а також дають оцінку концентрації водню лише для граничних випадків ??0 і ??. Тому щоб оцінити концентрацію водню в зоні передруйнування для будь-яких значень часу ? ? 0, міркуємо наступним чином. Оцінивши вираз (2.20) зверху, після деяких спрощень отримаємо
при . (2.22)
Тоді застосувавши до граничних випадків (2.22), (2.21) інтерполяційну формулу
, (2.23)
отримаємо розподіл концентрації водню для довільних значень часу ? ? 0 в замкнутому вигляді
. (2.24)
Із співвідношення (2.24) випливають формули (2.22), (2.21) як граничні випадки при ??0 і ??? відповідно.
Оскільки, поле концентрацій (2.24) оцінено в більшу сторону, то похибка іде в запас міцності, працюючого у водневому середовищі елемента металоконструкції.
На рис. 2.3 графічно зображено розподіл водню біля вершини тріщини (2.24) для сталі Ст.3.
Рис. 2.3. Графічне представлення розподілу концентрації водню CH
в полі механі