РОЗДІЛ 2
ДВОВИМІРНІ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ДЕФОРМУВАННЯ
ТОНКОСТІННИХ ПРУЖНИХ ТІЛ
У розділі систематизовано і строго викладено послідовнісно-апроксима-ційний
підхід до побудови теорій оболонок, що ґрунтується на апроксимації розв’язків
тривимірних задач теорії пружності для криволінійного шару послідовностями
частинних сум рядів Фур’є за системою поліномів Лежандра від товщинної
координати. Характерними у літературі [32, 43, 152, 153, 156, 157, 288] є два
підходи до редукції тривимірних задач теорії пружності. Перший підхід
ґрунтується на безумовній апроксимації переміщень та напружень поліномами. Він
приводить до структурно простих двовимірних математичних моделей, однак у межах
цих моделей не можуть бути коректно сформульовані граничні умови другого роду
на лицевих поверхнях. Одержані при цьому двовимірні математичні моделі
деформування шару (класична теорія оболонок, теорія оболонок Тимошенка і теорії
оболонок вищих порядків) використовуються, як правило, для розрахунку пластин і
оболонок, на лицевих поверхнях яких задаються напруження. В основу другого
підходу покладено умовну апроксимацію переміщень і напружень поліномами. При
апроксимації переміщень разом з їх коефіцієнтами Фур’є вводяться граничні
значення переміщень лицевих поверхонь, для визначення яких використовуються
умови неперервності відповідних компонент напружень на лицевих поверхнях при
наближенні із середини шару. Одержані при цьому двовимірні математичні моделі
деформування шару (модифікована теорія оболонок Тимошенка і уточнені теорії
оболонок вищих порядків) використовуються для розрахунку покрить і оболонок, на
лицевих поверхнях яких задаються як напруження, так і переміщення. У роботах
[167, 260] уточнену математичну модель деформування пластин побудовано
операторним методом, в якій залежності невідомих величин від товщинної
координати також зображуються через поліноми Лежандра.
У межах теорій оболонок, що відповідають першим наближенням розв’язків крайових
задач теорії пружності (одержаних за першим і другим способами), побудовано
спрощені математичні моделі деформування оболонок. В основу методу побудови
спрощених теорій оболонок покладено ідею гіпотетичного методу (прийняття
гіпотез) з реалізацією гіпотез послідовнісним методом (наближення розв’язків
відповідних крайових задач теорій оболонок послідовностями частинних сум рядів
за введеними малими параметрами) [201, 206,217,224]. Він є теоретичним
узагальненням формального переходу від теорії оболонок Тимошенка до класичної
теорії оболонок. Побудовано спрощені математичні моделі деформування оболонок,
в яких реалізується одна або більше гіпотез: про незмінність по товщині
жорстких поворотів відносно нормалі до серединної поверхні; про нехтовну
малість поперечних зсувних деформацій; про нехтовну малість жорстких поворотів
відносно нормалі до серединної поверхні.
2.1. Крайові задачі теорії пружності для тонкого криволінійного шару
2.1.1. Основні рівняння теорії пружності у криволінійних координатах.
Розглянемо криволінійний трансверсально-ізотропний шар постійної товщини , що
знаходиться під дією температурного поля, поверхневих навантажень та об’ємних
сил. Серединна поверхня шару віднесена до змішаної ортогональної системи
координат . Координатні лінії і є лініями головних кривин серединної поверхні ,
а прямолінійна координата має напрям зовнішньої нормалі до серединної поверхні.
Рівняння і у цій системі координат є відповідно рівняннями серединної поверхні
і лицевих поверхонь шару .
Квадрат лінійного елемента шару і квадрат лінійного елемента серединної
поверхні шару задається відповідно формулами і , де ? коефіцієнти Ламе; ?
коефіцієнти першої квадратичної форми; ? головні кривини серединної поверхні.
Коефіцієнти Ламе і коефіцієнти першої квадратичної форми не є довільними
функціями [7, 37, 178]. Зокрема, коефіцієнти першої квадратичної форми
серединної поверхні задовольняють умови Гаусса-Кодацці
Переміщення довільної точки шару внаслідок його деформування визначається
трьома компонентами за головними напрямками . Напружено-деформований стан шару
визначається симетричними тензором деформацій і тензором напружень , рис. 1.1.
Рис. 1.1. Напрями напружень у пружному тілі.
Компоненти цих тензорів справджують рівняння узагальненого закону Гука
[19,93,117,132]
(2.1)
Компоненти тензора деформацій визначаються через переміщення за допомогою
співвідношень Коші
(2.2)
де модулі Юнга в площадках ізотропії і перпендикулярних до них площадках; ?
коефіцієнти Пуассона і модулі зсуву; ? функція температури (нульове значення
якої відповідає відсутності деформацій у шарі); ? коефіцієнти лінійного
розширення.
Рівняння закону Гука (2.1) ще можна подати у такій формі:
(2.3)
Тут
(2.4)
температурні доданки напружень і введено такі сталі величини [7,159]:
Диференціальні рівняння руху нескінченно малого елемента шару такі:
(2.5)
де густина матеріалу.
Система рівнянь (2.2), (2.3) і (2.5) є повною системою рівнянь теорії
пружності. Вона містить п’ятнадцять рівнянь і стільки ж невідомих, які є
функціями лінійних координат і часу t.
На лицевих поверхнях шару задаємо умови першого роду
на , на , (2.6)
або другого роду
на , на (2.7)
(можуть задаватися також змішані умови). На боковій поверхні шару задаються
змішані умови
на , на (2.8)
де одиничний вектор зовнішньої нормалі до бокової поверхні; взаємно доповнюючі
частини бокової поверхні; ? вектор поверхневих навантажень.
Початкові умови задаємо у вигляді
(2.9) .
При формулюванні задач про усталені коливання шару приймаємо, замість умов
(2.9), гармоніч
- Київ+380960830922