РОЗДІЛ 2
РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ ПРО ВДАВЛЕННЯ НЕПЛОСКОГО ДВОЗВ’ЯЗНОГО ШТАМПА
2.1. Постановка задачі дослідження
2.1.1. Крайові задачі контактної взаємодії. Розглядається задача про вдавлення
в однорідний та ізотропний пружний півпростір жорсткого неплоского штампа,
обмеженого гладкою поверхнею, який спочатку торкається півпростору вздовж
замкненої плоскої лінії . Пружне середовище заповнює всю частину півпростору,
що міститься з одного боку площини .
Систему координат введемо так, щоб пружний півпростір збігався з областю .
Початок координат розмістимо в області, яка є внутрішньою відносно лінії , про
яку припускаємо, що промінь, який виходить з початку координат, перетинає лінію
не більш ніж в одній точці (рис. 2.1, 2.2).
Рис. 2.1. Поверхня двозв’язного штампа. Рис. 2.2. Область контакту.
Рівновага півпростору при відсутності масових сил описується векторним
рівнянням [74]
(2.1)
Тут – вектор пружних переміщень; – коефіцієнт Пуассона матеріалу півпростору.
Для єдиності розв’язку задачі необхідно виконання умови обернення в нуль
функцій на нескінченості. Припущення про той, чи інший вид контакту штампа з
півпростором призводять до різних крайових умов.
Якщо в задачі основа штампа гладка, вважається, що під штампом відсутні дотичні
напруження. Ще припускається, що дотичні напруження відсутні і на решті
поверхні півпростору. Таким чином має місце мішана задача теорії пружності,
коли на поверхні півпростору місцями задані напруження, а місцями –
переміщення, а саме:
– функція, яка описує форму основи штампа; – область контакту.
В задачі при наявності сил тертя, коли, наприклад, окрім сил, що притискують
штамп до півпростору, існує ще зсувна сила, припускається, що на площадці
контакту існують сили тертя, які підкоряються припустимо закону Кулона [82].
Відносно дотичних напружень, що виникають на площадці контакту, припускається,
що їх складова, перпендикулярна лінії дії цих напружень, дорівнює нулю. Крайові
умови в цьому випадку мають вигляд:
Тут - коефіцієнт Кулона.
В задачі про зчеплений штамп повинні виконуватися наступні умови на межі
півпростору:
Для знаходження напруженого стану і переміщень в півпросторі з системи рівнянь
(2.1) в координатній формі, використовуючи розв’язок Бусінеска, принцип
Сен-Венана або застосовуючи розв’язок Папковича-Нейбера, одержано інтегральне
рівняння Лур’є-Штаєрмана [26, 75], основне в теорії жорсткого штампа. В
окремому випадку плоского штампа це рівняння було отримано раніш В.М.Абрамовим
[1].
Далі розглянемо розв’язок цього рівняння разом з іншими інтегральними умовами
задачі для двозв’язної області контакту.
2.1.2. Основне інтегральне рівняння задачі в класичній постановці. Нехай
основа, якою штамп притискується до півпростору, має форму гладкої поверхні,
яка у первісному стані, доки штамп не навантажено, контактує з пружним
півпростором вздовж замкненої лінії (рис. 2.2). При навантаженні штамп
переміщується, заглиблюючись у деформоване пружне середовище. Величини, що
характеризують переміщення штампа, вважаються малими того ж самого порядку, що
і переміщення точок середовища [75].
На площині розглядається двозв’язна область , обмежена замкненими лініями і ,
яка містить точки, розташовані після деформації на зміщеній поверхні основи
штампа. Межа площинки контакту відрізняється від контуру поперечного перерізу
штампа площиною, паралельною площині . Крайові умови відносяться до
недеформованої поверхні пружного тіла, тобто до площини . Основа штампа
вважається абсолютно гладкою, тому приймається, що дотичні напруження ,
відсутні по всій площині :
: , . (2.2)
Нормальні напруження відсутні на площині поза областю контакту штампа з пружним
півпростором. В точках області пружне середовище піддається дії стискуючого
навантаження , тому
(2.3)
Тут – точка на площині тримірного простору.
Функція , що характеризує розподіл тиску під штампом, наперед незадана – це
основна невідома задачі. За умов (2.2), (2.3) рівновага штампа описується
наступними рівняннями:
(2.4)
, (2.5)
, , - головний вектор і головні моменти прикладених до штампа сил.
Такі інтегральні умови задовольняє невідоме розподілення тиску . До них ще
потрібно додати крайову умову для нормальної складової переміщення точок
області . Під дією навантаження штамп переміститься поступово і здійснить
поворот навколо деякої осі у площині . Позначаючи поступове переміщення,
паралельне вертикальній осі , через , а через , - проекції вектора малого
повороту, запишемо крайову умову для складової вертикального переміщення точок
області :
(2.6)
Наведену умову ще можна трактувати і так: точкам області на площині надаються
нормальні переміщення за заданим законом (2.6), для чого на площині повинно
бути розподілено нормальний тиск за наперед невідомим законом . В утворену
„западину” вставляється штамп, який притискується для збереження рівноваги
заданим навантаженням.
У випадку неплоского штампа, поверхня якого не має кутових ліній, тобто, ,
неперервні, контури області , і її межові лінії і , визначаються умовою, що на
них
(2.7)
Тоді згідно з (2.3) нормальні напруження будуть неперервні на всій поверхні .
Постановка цієї умови диктується тим, що при відсутності кутової лінії на
поверхні штампа середовище плавно прилягає до його основи. Задача про штамп з
неплоскою основою припускає за умов (2.2)–(2.6) сім’ю розв’язків, які залежать
від параметрів, що визначаються вимогою плавного прилягання середовища до
поверхні штампа (2.7).
Штамп повинен бути притисненим по усій поверхні стискання,