РОЗДІЛ 2
Осесиметричні рівняння коливань тришарових
оболонок з кусково-однорідним заповнювачем при використанні гіпотез до кожного
шару
В другому розділі виведено рівняння коливань тришарових оболонок обертання з
використанням незалежних кінематичних та статичних гіпотез для кожного із
шарів, з врахуванням поперечних нормальних та зсувних деформацій в
заповнювачі. Для тришарових оболонок приймаються незалежні гіпотези
апроксимацій переміщень та напружень для кожного із шарів, деформаційні
співвідношення для кожного шару приймаються в рамках нелінійної теорії оболонок
в квадратичному наближенні. Для виведення рівнянь коливань тришарових оболонок
обертання використовується варіаційний принцип Рейсснера для динамічних
процесів [40]. Використання варіаційного принципу Рейсснера дозволяє усунути
формальні протиріччя в рівняннях узагальненого закону Гука для поперечних
нормальних і зсувних напружень при прийнятті незалежних апроксимацій
переміщень і напружень. За незалежні шукані функції приймаються переміщення на
поверхнях шарів.
2.1. Основні положення геометрично нелінійної теорії пружності
Нехай тіло, що віднесене до ортогональної криволінійної системи координат , під
дією деяких зусиль деформується. Компоненти вектора переміщень довільної точки
тіла позначимо через , , . Додатні напрями переміщень , збігаються з додатніми
напрямами координат .
В нелінійній теорії пружності деформований стан суцільного середовища в околі
довільної точки характеризується тензором деформацій Коші-Гріна [79, 80, 186]:
, (2.1)
,
;
де визначається наступним чином
, (2.2)
,
, (2.3)
Відносні подовження в напрямках обчислюються за формулами
, , (2.4)
Кути зсуву (точніше, сінуси кутів зсуву) між первісно ортогональними
волокнами визначаються згідно формул
, , (2.5)
Параметри в співвідношеннях (2.1) характеризують середній поворот об’ємного
елемента навколо координатних осей [79, 80].
Як відомо з теорії пружності, напружений стан в довільній точці суцільного тіла
визначається дев’ятьма компонентами тензора напружень , які діють відповідно на
гранях елементарного недеформованого об’ємного елемента (в ортогональній
системі координат - нескінченно малого криволінійного паралелепіпеда). В
результаті деформації відбувається зсув і поворот об’ємного елементу відносно
початкового положення. Його ребра змінять свою довжину, а кути між ними вже не
будуть прямими. При цьому питома робота внутрішніх сил в нескінченно малому
об’ємному елементі в нелінійній теорії пружності має вигляд [79, 80]
. (2.6)
В виразі (2.6) величини є узагальненими напруженнями, і мають наступний вигляд
[79, 80]
, (i,j = 1,2,3), (2.7)
, (1,2,3),
де – елементарні площадки об’ємного елемента до і після деформації. Якщо
відносні продовження (2.4) та кути зсуву (2.5) є малими величинами порівняно з
одиницею, то із (2.7) маємо , при цьому
. (2.8)
Якщо величини і малі порівняно з одиницею, то, як випливає з (2.1), малими
порівняно з одиницею будуть і параметри . При цьому величини будуть
відрізнятися від відповідних компонент деформації , згідно з (2.1), тільки на
величину порядку квадратів кутів повороту. В цьому випадку формули для
визначення мають вигляд
, (2.9)
, , .
З врахуванням вище вказаних спрощень і формул (2.8), (2.9) питома робота
внутрішніх сил в нескінченно малому об’ємному елементі має вигляд
(2.10)
В виразі (2.10) величини визначаються згідно формул (2.9).
Якщо матеріал є криволінійно-ортотропним і головні напрями ортотропії
співпадають з напрямами координатних ліній, то зв’язок між відповідними
компонентами тензорів деформацій і напружень має вигляд [81]
, (2.11)
, , .
В формулах (2.11) – модулі Юнга у відповідних напрямах ; – модулі зсуву для
поверхонь – коефіцієнти Пуасона, що характеризують поперечну деформацію при дії
напруження в напрямі осей координат (перший індекс показує напрям поперечної
деформації, другий – напрям дії сили). Модулі зсуву незалежні, а модулі Юнга і
коефіцієнти Пуасона згідно умов симетрії зв’язані співвідношеннями
, , .
Розв’язуючи співвідношення (2.11) відносно компонент напружень, отримуємо
залежності між компонентами напружень і деформацій у вигляді
, (2.12)
,
, , .
Модулі пружності виражаться через величини за формулами
, ,
,
Відмітимо, що в багатошаровій оболонці всі параметри пружності змінюються від
шару до шару, тобто являються кусково-неперервними функціями координати .
Для логічної побудови наближених двовимірних теорій оболонок важливе значення
мають варіаційні принципи теорії пружності. В даній роботі використовується
принцип Рейсснера. При використанні принципа Рейсснера необхідно варіювати по
переміщеннях і напруженнях функціонал
. (2.13)
Вигляд виразу залежить від виду анізотропії матеріалу.
Рівняння рівноваги, граничні умови, співвідношення пружності будемо знаходити
на основі принципу Рейсснера
, (2.14)
де – функціонал Рейсснера,
– робота зовнішніх сил.
Причому переміщення і напруження являються незалежно варьйовними функціями.
, (2.15)
. (2.16)
2.2. Вивід рівнянь коливань тришарових оболонок обертання з використанням
гіпотез до кожного шару
Розглянемо тришарову оболонку обертання постійної товщини із зовнішніми
ортотропними шар