РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ СТАТИКИ І ДИНАМІКИ ОБОЛОНОК ОБЕРТАННЯ З АРМУЮЧИМИ КОМПОНЕНТАМИ
2.1. Формулювання механічної моделі наукового дослідження
Об'єктом наукових досліджень є шаруваті оболонки обертання з армуючими компонентами в кожному шарі типу дротів. Вважаємо, що багатошаруваті металічні оболонки обертання одержані в результаті, наприклад, дифузійного зварювання моношарів з вказаними армуючими компонентами. В кінцевому рахунку припускається як вихідний факт наявність міжфазних шарів в оболонці.
Для вказаної композитної системи формулюємо наступні припущення:
- для всього пакета неоднорідних шарів справедлива гіпотеза прямої лінії;
- кожний шар (моношар ) представляє собою матрицю, яка містить в собі лише один ряд ( по товщині ) регулярно розподілених армуючих компонент типу дротів; взаємна орієнтація напрямів армуючих компонент в шарах може бути різною; заради спрощення припускаємо, що має місце ортогональна орієнтація; армування однонаправлене в кожному моношарі ( рис. 2.1, а);
- припускається, що кількість моношарів є непарне число; існує координатна поверхня, відносно якої має місце геометрична і механічна симетрія досліджуваної системи;
- фізико-механічні характеристики кожного моношару взагалі вважаються різними;
- на поверхнях розділу армуючих компонент і матриці припускається
наявність міжфазних шарів, які утворились в процесі виготовлення моношарів або при експлуатації конструктивного елемента в екстремальних умовах;
Рис. 2.1. Схема армування і системи відліку в оболонці обертання
- міжфазні шари трактуємо як деякі "клейові" з'єднання, що забезпечують монолітність моношару і передачу зовнішнього навантаження через матрицю до армуючих компонент.
Зауважимо, що трактування міжфазних шарів як клейових з'єднань
дозволяє використовувати методики розрахунку елементів композитних матеріалів, одержаних клейовим з'єднанням моношарів ; оцінювати міцність в області міжфазних шарів тощо.
Відомо, що теорія багатошарових оболонок розроблена в працях багатьох вчених, серед яких слід назвати С.А. Амбарцум'яна [94] , В.В. Болотіна, Ю.Н Новічкова. [20] , Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко [93], Е.І. Григолюка [ 117,118 ], В.Г. Піскунова, А. О. Рассказова, О. М. Шульги [ 106 - 108 ] .
В подальшому приведемо основні формули, співвідношення теорії багатошарової оболонки, використовуючи монографії [93,94]. Але слід зазначити, що нами була проведена значна робота по співставленню, критичному аналізу ряду співвідношень з вказаних і інших монографій. Справа в тому, що в ряді монографій використовуються різні позначення, не співпадають деякі доданки, неоднакові припущення відносно ступеня малості деяких членів. Все це виявилось важливим при побудові в подальшому варіаційних співвідношень.
Відомо [ 93 , 94 ] , що багатошаровій оболонці обертання можна поставити у відповідність деяку одношарову оболонку з приведеними геометричними і механічними характеристиками (рис. 2.1, б). Приведемо деякі відомі співвідношення для цих приведених одношарових оболонок, обмежуючись лінійною теорією їх деформування; використовуємо при цьому дещо нестандартний підхід.
Розглядаємо вказану оболонку в недеформованому стані; її товщину позначаємо через h, серединну поверхню через ?; недеформований стан оболонки позначаємо через С0 , а деформований - через Сt.
Положення довільної точки М на ? задаємо гаусовими ортогональними криволінійними координатами ?1, ?2 , за які вибираємо меридіани ( лінії ?1 ) і паралелі ( лінії ?2 ) ; кривизни вказаних ліній позначаємо через к1 і к2 . Через e1, e2 позначаємо одиничні орти відповідно до ?1 і ?2 . Тоді орт нормалі e3 буде: e3 =e1 x e2; локальний базис e1 , e2 , e3 вважаємо правим, тобто e1 =e2 ? e3, e2 =e3 ? e1 , e3 =e1 ? e2.
Координати ?1 і ?2 можна конкретизувати параметрами ? і ? : ? - кут між нормаллю до поверхні в точці М і віссю обертання ( рис. 2.1,б ) ; ? - кут довготи. Для інваріантного запису співвідношень в більшості випадків будемо використовувати координати ?1 і ?2 .
Квадрат віддалі між двома нескінченно близькими точками на ? визначаємо згідно формули
(2.1.1)
У цій формулі тут і надалі кома означає частинну похідну по координатам .
. Якщо ?1 = ?, ?2 = ?, то А1=R1(?),
A2= R2(?) sin ? , де R1 ,R2- радіуси кривини відповідно меридіана і паралелі.
2.2. Деформаційні і силові характеристики серединної поверхні
приведеної оболонки обертання
Нехай під дією деякого зовнішнього навантаження оболонка деформується, тобто переходить з С0 в Сt . Ряд величин , які будуть відноситись до Сt позначаємо з зірочкою; наприклад, A*1 , Т*11 і т.д. Позначаємо через u = u (?1, ?2 , t ) ( t - час ) вектор переміщення точки М в процесі деформування.
Покладаємо
(2.2.1)
де u1 , u2 , w - компоненти вектора u відповідно у напрямах до меридіану, паралелі і нормалі.
Нехай - вектор повороту нескінченно малого елемента на ? ; тоді
(2.2.2)
В конфігурації Сt радіус - вектор точки М буде :
(2.2.3)
Квадрат віддалі між двома нескінченно близькими точками визначається за формулою
(2.2.4)
Використовуємо дериваційні формули, тобто формули диференціювання ортів по координатам ?1 , ?2. Оскільки лінії ?1 і ?2 - лінії кривизн, то згідно [ 93 ] маємо
(curl) (2.2.5)
Тут символ "curl" говорить про те, що решту формул можна одержати циклічною перестановкою н