РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ
ЛІНІЙНОЇ ТЕОРІЇ ЕЛЕКТРОПРУЖНОСТІ
2.1. Рівняння лінійної теорії електропружності п'єзокерамічних тіл. Постановка основних граничних задач електропружності
Основні рівняння та співвідношення лінійної теорії електропружності, які застосовуються в даній роботі, викладені в монографіях [26, 78, 79].
Розробка загальної теорії деформування п'єзокерамічних тіл базується на основних законах механіки і законах електродинаміки для таких середовищ. В основі всіх механічних моделей, включаючи тверді, рідкі та газоподібні середовища, лежать закони збереження фізики або енергетичні принципи [99], а також необхідні геометричні зв'язки. Електромагнітні явища, що відбуваються в матеріальних середовищах, описуються рівняннями Максвела [57, 99-101], які є основою теорії електромагнетизму. Зв'язок між змінними двох типів рівнянь визначається фізичними співвідношеннями - рівняннями п'єзоефекту. Взагалі кажучи, лінійна теорія п'єзоелектрики є узагальненням класичної теорії пружності. Якщо виходити з чотирьох відомих законів збереження стосовно до матеріальних середовищ [32, 101], то відмінність п'єзоелектричного середовища від звичайного пружного тіла буде виражатися в необхідності врахування в рівнянні балансу енергії потоку електричної енергії. Решта три закони збереження (маси, кількості руху і моменту кількості руху), в математичний запис яких входять лише механічні змінні спряженого поля, використовуються далі у тому ж вигляді, що й в лінійній теорії пружності.
Лінеаризація рівнянь електрострикції для п'єзоактивних матеріалів на основі титанату барію, проведена У. Мезоном [73], та експериментальні дані показують, що стосовно механічних та електричних властивостей п'єзокераміки поводять себе як трансверсально-ізотропні тіла. При цьому вісь симетрії співпадає з направленням поля попередньої поляризації.
При виборі осі декартової системи координат в напрямку силових ліній електричного поля попередньої поляризації повна система статики трансверсально-ізотропних п'єзокерамічних тіл містить наступні співвідношення
рівняння рівноваги (без врахування об'ємних сил)
; (2.1)
де , , , , , - компоненти механічних напружень;
рівняння вимушеної електростатики
= 0; =, (2.2)
де - вектор електричної індукції, - вектор напруженості електричного поля, - електричний потенціал;
рівняння стану
;
;
; (2.3)
;
;
;
;
співвідношення Коші
; ; ; ;
; . (2.4)
Тут , , , , - модулі пружності, що визначаються при постійному електричному полі; , , - п'єзоелектричні сталі; , - діелектричні проникності, виміряні при постійній деформації [26].
Підстановка виразів (2.3), (2.4) в рівняння (2.1), (2.2) приводить до системи рівнянь рівноваги і вимушеної електростатики, записаних для переміщень , , та електричного потенціалу :
. (2.5)
. (2.6)
Для однозначного розв'язку спряжених рівнянь (2.5), (2.6) в граничні умови входять як механічні, так і електричні змінні спряженого електропружного поля, причому електричні властивості п'єзокераміків такі, що постановка зв'язаних граничних задач електропружності в деякій мірі є аналогічною постановці задач в класичній теорії пружності. Так, якщо на поверхні S (або на її частині) деякої просторової області V задано вектор переміщення частин тіла =(, , ), то повинні виконуватись умови
; ; . (2.7)
Якщо на поверхні тіла задано вектор зовнішніх зусиль , то його проекції на осі декартової прямокутної системи координат визначаються за формулами
; (2.8)
де , , - проекції орта нормалі до поверхні тіла.
Із співвідношень (2.8), (2.3) приходимо до таких виразів проекцій , , через переміщення , , та електричний потенціал :
;
;
. (2.9)
У випадку навантаження керамічного тіла заданою різницею електричних потенціалів на електродах, що частково покривають тіло , вказується значення шуканого потенціалу
. (2.10)
Як електричні, так і механічні складові спряжених полів розшукуються лише всередині об'єму тіла, оскільки зовнішні електромагнітні поля розсіювання внаслідок великої різниці в діелектричних проникностях кераміки та вакууму (повітря) є настільки малими, що ними можна знехтувати. Тому, якщо зовнішнім середовищем п'єзокерамічних елементів є повітря, приймається, що
. (2.11)
Вираз для нормальної складової вектора індукції через переміщення та електричний потенціал має вигляд
. (2.12)
2.2. Представлення загального розв'язку рівнянь статики електропружності через гармонічні функції
Рівняння (2.5), (2.6) є складною системою диференціальних рівнянь в частинних похідних відносно параметрів , , , , розв'язок яких можна
представити через чотири потенціальні функції [83]
; ;
; . (2.13)
Функції повинні задовольняти рівнянням
, (2.14)
де , а , , є коренями характеристичного рівняння
(2.15)
Тут введені такі позначення
; ;
; ;
; (2.16)
; ;
; ;
Параметри та визначаються через корені характеристичного рівняння (2.15) наступними співвідношеннями [83]:
(2.17)
Якщо ввести позначення , то функція буде гармонічною в системі координат .
Підставивши в рівняння (2.9), (2.12) вирази переміщень та електричного потенціалу через функції напружень , отримаємо [83]
;
;
. (2.18)
. (2.19)
Таким чином, складна система чотирьох рівнянь (2.5), (2.6), кожне з яких містить переміщення , , та електричний потенціал за допомогою представлення (2.13) приводиться до окремих рівнянь для кожної функції , хоча граничні умови при цьому не розділяються. Така форма розв'язку приводить до точного задоволення граничним умовам при побудові розв'язків задач статичної електропружності та дає можливість в