РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ РІВНЯННЯ МАГНІТОПРУЖНОСТІ ДЛЯ
МАГНІТО-М'ЯКИХ ФЕРОМАГНЕТИКІВ ТА ПРЕДСТАВЛЕННЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗКУ
2.1. Основні рівняння теорії магнітопружності для магніто -м'яких феромагнетиків
Проблеми взаємодії різних середовищ і полів являються основними в новій швидко прогресуючій області механіки деформівного твердого тіла - в теорії магнітопружності, предметом якої є вивчення спряжених полів і процесів, які протікають в деформівному тілі при дії зовнішнього магнітного поля [ 29, 33, 61 ]. В сучасній техніці надзвичайно важливу роль відіграють магніто-м'які матеріали. Вони складають більшу частину багатьох конструкцій та приладів. Широке використання м'яких феромагнітних матеріалів в різноманітних приладах та елементах конструкцій дало поштовх до вивчення взаємодії магнітного поля з механічним.
Якщо на тіло з такого матеріалу діє магнітне поле, воно намагнічується і в ньому виникають пружні деформації та додаткове магнітне поле. Дія магнітного поля пов'язана з явищем намагніченості, суть якого полягає в тому, що в тілі під дією зовнішнього магнітного поля з'являється результуючий магнітний момент, який складається із елементарних моментів окремих частинок. Під впливом цього поля в тілі виникають деформації, які породжують додаткове магнітне поле. Таким чином, тіло піддається механічному впливу зі сторони зовнішнього магнітного поля. Так як м'які феромагнетики характеризуються вузькою петлею гістерезиса і низькою намагніченістю, то ефектом гістерезиса, п'єзоефектом та ефектом магнітострикції можна знехтувати. Це дозволяє спростити теорію магнітопружних взаємодій.
Дія магнітного поля на феромагнетик змінює його характеристики, а разом з цим і характеристики самого магнітного поля в усьому просторі. Крім того, в тілі виникають об'ємні сили та масові моменти , які визначаються за формулами
; (2.1)
, (2.2)
де - вектор намагніченості, який співпадає з напрямком магнітного моменту і рівний значенню цього моменту, віднесеного до одиниці об'єму деформівного тіла; - вектор напруженості магнітного поля; - абсолютна магнітна постійна .
Всередині намагніченого феромагнетика створюється власне внутрішнє магнітне поле, яке визначається вектором магнітної індукції . Вектор магнітної індукції зв'язаний з векторами намагніченості та напруженості формулою
. (2.3)
Магнітне поле в матеріальних середовищах описується двома рівняннями Максвела, які отримуємо шляхом усереднення мікроскопічних рівнянь електромагнітного поля в пустоті [ 55 ]
; , (2.4)
де - мікроскопічна напруженість магнітного поля; - мікроскопічна напруженість електричного поля; с - швидкість світла; - мікроскопічна густина току.
Середню напруженість магнітного поля прийнято називати індукцією магнітного поля . Тому в результаті усереднення першого із рівнянь (2.4) отримаємо перше рівняння Максвела
. (2.5)
В другому рівнянні (2.4) при усередненні похідна по часу зникає, оскільки середнє поле передбачається постійним. Тому маємо
. (2.6)
Нехай в тілі відсутній повний струм, тобто по будь-якому перерізу тіла. Це означає, що вектор може бути написаний як ротор деякого іншого вектора
, (2.7)
причому відмінна від нуля тільки всередині тіла.
Інтегруючи (2.7) по поверхні, маємо
. (2.8)
Підставляючи (2.3) та (2.7) в (2.6), отримаємо друге рівняння Максвела
. (2.9)
Під дією масових сил і об'ємних моментів середовище деформується, і його рух описується наступними рівняннями, які отримуємо із рівнянь кількості руху і моменту кількості руху з урахуванням виразів (2.1) і (2.2):
, (2.10)
де
. (2.11)
Тут - несиметричний тензор напружень Максвела [52]
, (2.12)
- несиметричний тензор магнітопружних напружень (несиметричний за рахунок намагніченості).
Враховуючи (2.11), (2.12), рівняння (2.10) можна записати наступним чином:
. (2.13)
Співвідношення, яке виражає несиметричність тензора магнітопружних напружень, має вигляд [122]
, (2.14)
де - тензор Леві-Чивіта.
Як бачимо, система рівнянь (2.5), (2.9), (2.13) не замкнена, і до неї необхідно додати рівняння стану магнітопружного середовища, які зв'язують пружні та магнітні характеристики деформованого стану (пружні напруження, деформації, напруженості магнітного поля та магнітну індукцію). Рівняння стану отримуємо із закону збереження енергії [29]
. (2.15)
Рівняння стану мають вигляд [29]
; . (2.16)
Тут - внутрішня енергія одиниці маси. Так як теплова енергія не враховується, зміна внутрішньої енергії буде така сама, як і зміна вільної енергії.
; ; , (2.17)
де -тензор деформації Гріна; - компоненти градієнта деформації; - щільність деформівного середовища.
Доповнимо систему рівнянь (2.5), (2.9), (2.10), (2.16) граничними умовами.
На границі розділу двох різних середовищ з різними значеннями магнітної проникності лінії магнітної індукції переломлюються. Потік магнітної індукції крізь границю по теоремі Гауса дорівнює
, (2.18)
де - площа границі розділу. Повне число силових ліній, які входять в замкнену поверхню, рівне числу ліній, які виходять із цієї поверхні. Як бачимо, нормальна складова вектора індукції неперервна при переході