РОЗДІЛ 2
КВАЗІСТАЦІОНАРНЕ ТЕПЛОУТВОРЕННЯ ВІД ДІЇ СИЛ ТЕРТЯ
ПІД ЧАС ВИСОКОШВИДКІСНОГО КОВЗАННЯ ПРУЖНИХ ТІЛ
У 1971 році професор Ф. Лінг та його асистент Ч. Янг із Resselaer Polytechnik Institute (США) опублікували розв'язок плоскої квазістаціонарної задачі теплопровідності для півпростору, що нагрівається на вільній поверхні швидкорухомим розподіленим потоком тепла [97]. У зв'язку із успішним подальшим використанням цього розв'язку до моделювання теплових режимів різноманітних триботехнічних процесів (холодний прокат металів [22], [90], [92], [101], [110], [116] шліфування [16], [59], [113], теплоутворення під час ковзання колеса по рейці [93], [94], [109] та інші), вищезгадана задача є відомою в науково-технічній літературі як "задача Лінга" [98]. Не дивлячись на майже 30-ти літню давність, задача Лінга все ще привертає до себе увагу, по-перше, внаслідок все нових областей її застосування, по-друге, простотою запису розв'язку і , по-третє, потребою його дослідження (інтегрування) для різних інтенсивностей теплового потоку. Остання причина, як буде показано далі, і спонукала нас провести дослідження, представлені у цьому розділі.
2.1. Високошвидкісне локальне нагрівання поверхні півпростору лінійним розподіленим потоком тепла
Розглянемо плоску крайову задачу квазістаціонарної теплопровідності (рис. 2.1)
(2.1)
(2.2)
при . (2.3)
Рис.2.1. Схема задачі.
Приймаємо, що інтенсивність фрикційного теплового потоку є рівною питомій потужності сил тертя [15]
. (2.4)
Позначимо
. (2.5)
Із урахуванням рівності (2.4) та позначень (2.5) рівняння (2.1) та граничні умови (2.2) і (2.3) приймуть вигляд
(2.6)
(2.7)
при , (2.8)
де
. (2.9)
Розглядаємо високошвидкісний рух, що має місце при [97]. У цьому випадку градієнтом теплового потоку в напрямі руху (перший доданок у рівнянні теплопровідності (2.6)) можна знехтувати і рівняння теплопровідності (2.6) набуде вигляду
. (2.10)
Рівняння (2.10) та граничні умови (2.7), (2.8) становлять математичний запис теплової задачі Лінга [98]. Розв'язок крайової задачі квазістаціонарної теплопровідності (2.10), (2.7), (2.8), отриманий шляхом застосування інтегрального перетворення Фур'є за змінною , має вигляд [97]
, (2.11)
(2.12)
Для обчислення інтеграла в правій частині співвідношення (2.11) в праці [97] пропонується розкладати функцію в синус- або косинус- ряди Фур'є з подальшим точним визначенням коефіцієнтів розкладів та сумуванням. Однак вирази для підрахунку коефіцієнтів цих рядів є складним і до того ж подані в комплексному вигляді. Тому найчастіше дослідники просто задовольнялись чисельним інтегруванням у співвідношенні (2.11) для конкретних розподілів контактного тиску . Нами пропонується методика аналітичного інтегрування (2.11) у випадку довільної гладкої функції за допомогою використання властивостей фінітних кусково-постійних та кусково-лінійних функцій [43].
Введемо на проміжку (2.12) рівномірну сітку
. (2.13)
Нехай
(2.14)
(2.15)
Рівномірна похибка наближення (2.14) становить [114].
Підставивши функцію (2.14) під знак інтеграла у розв'язку (2.11), отримаємо
(2.16)
де
(2.17)
Після інтегрування частинами у формулі (2.17) запишемо функцію у вигляді
(2.18)
При зі співвідношення (2.18) випливає
, (2.19)
і з розв'язку (2.16) отримуємо вираз для визначення температури поверхні простору :
. (2.20)
Поставимо тепер кожному вузлу сітки (2.13) у відповідність кусково-лінійну функцію ("функцію-дашок")
. (2.21)
Підставивши у розв'язок (2.11) наближений розподіл контактного тиску
(2.22)
отримаємо
(2.23)
,
, (2.24)
де
(2.25)
Після обчислення інтеграла (2.25) знаходимо
(2.26)
де функція дається формулою (2.18).
Прийнявши до уваги співвідношення (2.19), із формули (2.26) отримуємо при
. (2.27)
Підставивши вирази (2.19) та (2.27) у формули (2.24), із рівності (2.23) одержуємо розподіл температури на поверхні півпростору у вигляді
(2.28)
(2.29)
.
У випадку ідеально гладких поверхонь співдотичних тіл найбільш часто у застосуваннях користуються еліптичним (герцівським ) розподілом контактного тиску [18]
. (2.30)
Якщо ж робочі поверхні тіл шорсткі, то беруть суперпозицію герцівського розподілу (2.30) із розподілом, що має коливний характер. Як приклад розглянемо косинус-флуктуацію з довжиною хвилі та амплітудою :
(2.31)
На тяжко навантаженому контакті, коли матеріали тіл перебувають у стані, близькому до пластичного, тиск вирівнюється:
. (2.32)
Для розподілу (2.32) температурне поле у півпросторі знаходимо безпосереднім інтегруванням розв'язку (2.11), (2.12) з використанням значення (2.18) інтеграла (2.17). У результаті одержуємо
(2.33)
(2.34)
(2.35)
, а постійна визначається за формулою (2.9). Зазначимо, що (2.35) - це максимальна температура, що досягається на поверхні півпростору в точці ( - точка виходу зі смуги нагрівання ). Формули (2.9) та (2.35) підтверджують висновок Блока [70] про зростання максимальної температури на фрикційному контакті прямо пропорційно до кореня квадратного зі швидкості ковзання тіл (при заданій притискальній силі). З іншої сторони, бачимо, що при заданій швидкості ковзання максимальна температура є лінійною функцією питомої потужності сил тертя .
Розподіл температури (2.33), (2.34) було використано для тестування запропонованої методики наближеного інтегруван