РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
В разделе даны основные положения нелинейной механики и ТЛТУДТ в тензорной
форме, описывающие напряженно-деформированное состояние сплошных сред. Изложены
основы линеаризированной механики ДТТ для первого и третьего варианта ТЛТУДТ.
Представлены общие решения для однородного докритического состояния построенные
для различных вариантов ТЛТУДТ в лагранжевых системах координат.
Рассматриваются соотношения для докритического состояния в случае третьего
варианта теории устойчивости в рамках геометрически линейной теории упругости.
Применительно к слоистым конструкционным элементам с покрытиями различного
функционального назначения рассматриваются модели и характеристики, описывающие
физико-механические свойства материалов слоистой среды. Из анализа условий
изготовления и эксплуатации современных конструкционных элементов с покрытиями
производится выбор базовой расчетной схемы для исследования тел сопряжения. Для
формулирования конкретных задач в рамках выделенных расчетных схем
рассматриваются физико-механические модели слоистых тел и характер внешней
нагрузки действующих на слоистые конструкционные элементы с покрытиями. Дана
общая постановка задач и критерии устойчивости для пространственной, плоской и
осесимметричной деформации тел сопряжения различного целевого назначения.
2.1 Основные положения нелинейной механики и ТЛТУДТ.
В ТЛТУДТ постановку задач и описание процесса деформирования сплошной среды
[63] принято осуществлять в лагранжевых координатах, поскольку геометрия
исследуемого тела известна лишь в начальном (недеформированном) состоянии.
Лагранжевые координаты считаются «вмороженными» в исследуемое тело и
деформируются вместе с ним. Тогда, например, декартовая координатная система ,
в которой описывается геометрия тела в недеформированном состоянии, становится
криволинейной после его деформирования. В общем случае лагранжевые координаты =
могут быть криволинейными. Связь между системами и имеет вид:
; (2.1)
.
Если -единичные орты (базисные вектора) декартовой системы координат, то
аналогичные ковариантные величины для криволинейной системы. Здесь и далее
принимаются следующие правила. Если особо не будет оговорено, то по
повторяющимся индексам предполагается суммирование от 1 до 3; точка сверху
обозначает дифференцирование по времени, а индекс после запятой -
дифференцирование по соответствующей координате. Например, величину можно
записать .
В декартовой системе координат, применительно к которой приведем основные
соотношения нелинейной механики деформируемого твердого тела, имеем В рамках
нелинейной механики существует много тензорных величин, описывающих напряженно
- деформированное состояние сплошных тел. При конечных (больших) деформациях
для описания напряженного состояния в работе [63] используется симметричный
тензор обобщенных напряжений и несимметричный тензор Кирхгоффа, отнесенные к
единице площади в недеформированном состоянии. Связь между их компонентами
имеет вид . Для описания деформированного состояния будем использовать
симметричный тензор деформаций Грина , компоненты которого можно записать:
. (2.2)
Компоненты тензора скоростей деформаций определяются так .
Базисные алгебраические инварианты тензора деформаций имеют вид:
. (2.3)
Система инвариантов , третий из которых представляет собой изменение объема,
связана с (2.3) следующей зависимостью:
(2.4)
В этом случае условие несжимаемости материала следующее: . Изменение длины
линейного элемента среды, первоначально направленного вдоль координатной линии
, будет:
; ( ). (2.5)
Уравнения движения и граничные условия в напряжениях на части поверхности можно
записать в виде:
; (2.6)
. (2.7)
Граничные условия в перемещениях на части поверхности F2 при этом записываются
следующим образом:
, (2.8)
в виде составляющих относительно базисных векторов gj в недеформируемом
состоянии. Здесь - компоненты объемных сил; -смешанные составляющие
метрического тензора в недеформированном состоянии; - компоненты поверхностной
нагрузки, отнесенные к единице поверхности недеформированного тела; -
составляющие орта нормали к поверхности тела в недеформированном состоянии.
Составляющие вектора поверхностной нагрузки «следящего» типа в работе [55]
получены в виде выражения:
(2.9)
где приняты обозначения: символ * отмечает величины, записанные в
деформированном состоянии. Здесь - интенсивность внешней нагрузки, измеряемой
на единицу площади в деформированном состоянии (в задачах устойчивости – в
момент потери устойчивости). Связь между компонентами тензоров напряжений и
деформаций для гиперупругих тел применительно к теории конечных начальных
деформаций устанавливается с помощью соотношения:
; (2.10)
. (2.11)
Для несжимаемых тел эта зависимость изменяется:
, (2.12)
где – множитель Лагранжа. Для определения имеем формулу:
. (2.13)
Здесь - упругий потенциал, наличие которого обеспечивает существование
потенциальной энергии деформации в теле. Считается, что является произвольной
дважды непрерывно дифференцируемой функцией компонентов тензора деформаций
Грина. Вид этой функции для конкретных материалов будет приведен в п.2.5
данного раздела.
При малых деформациях (удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей) не
учитывается изменение метрического тенз
- Київ+380960830922