Розділ 2
Аналітичні дослідження процесу роботи вертикального ДОочисника голівок
коренеплодів цукрових буряків
2.1. Розробка аналітичної моделі взаємодії очисної лопаті з поверхнею головки
коренеплоду цукрових буряків
На основі проведеного аналізу літературних джерел і враховуючи конструкцію
розробленого нового робочого органу очисника головок коренеплодів від залишків
гички розглянемо аналітично процес взаємодії одиничної очисної лопаті з
поверхнею головки коренеплоду цукрових буряків. При цьому вважаємо, що основна
частина гички з головки буряку вже зрізана гичкозбиральною машиною, тобто
моделюємо коренеплід як нерухоме тіло, верхня частина якого являє собою
півсферу певного радіусу r. Одинична лопать при взаємодії з головкою
коренеплоду торкається півсфери в точці С і в подальшому згинаючись в двох
площинах оббігає півсферу і ковзає по ній (рис. 2.1).
Зі сферичною поверхнею головки коренеплоду зв’яжемо нерухому систему декартових
координат OXYZ, розміщуючи точку О в центрі півсфери.
Розглянемо сили, які виникають в точці С контакту лопаті з головкою
коренеплоду. Внаслідок дії обертального моменту приводу лопаті, а також
поступального руху машини очисна лопать зазнає деформації згину і кручення, що
обумовлюється дією сили , яку можна вважати корисною робочою силою зчісування
залишків гички з головки коренеплоду. В точці С діє сила тяжіння G, яка
направлена вертикально вниз, а також прикладений вектор сили тертя , який має
напрямок протилежний напрямку швидкості руху точки С по головці коренеплоду.
Відцентрова сила , яка також діє в точці С, відхиляє лопатку в радіальному
напрямку її обертання. В цілому вважаємо, що моделювання взаємодії очисної
лопаті з поверхнею головки коренеплоду цукрового буряку можна розглядати як рух
матеріальної точки С під дією сил: , , , , де - нормальна реакція в’язі.
Рис. 2.1 Схема сил дії лопатки на головку коренеплоду
В векторній формі рівняння руху лопаті по поверхні головки коренеплоду має
такий вигляд
. (2.1)
Якщо спроектувати це рівняння на осі декартової системи координат, то дане
рівняння буде мати такий вигляд
(2.2)
Визначимо складові правих частин рівнянь (2.2). Запишемо вирази для модуля сили
тертя (), а також відцентрової сили () та її проекцій на осі Ох і Оу
, (2.3)
де - коефіцієнт тертя лопаті по поверхні буряка.
(2.4)
де - маса лопаті, кг; - кутова швидкість обертання робочого органу, рад/с; -
кут, на який повертається лопать за час, t.
Враховуючи, що вектор сили тертя направлений в протилежний бік вектора
швидкості руху точки контакту, можемо написати
(2.5)
Відомо, що [83]:
(2.6)
та
(2.7)
де - модуль градієнта функції ;
- рівняння в’язі;
- модуль вектора швидкості точки С, м/с.
В нашому випадку в’яззю є сфера , рівняння якої дорівнює
, (2.8)
де - радіус головки буряка, м.
Отже, враховуючи вирази для направляючих косинусів (2.6–2.7) векторів сил і ,
та додавши до системи рівнянь (2.5) рівняння сфери (2.8), отримаємо систему
диференційних рівнянь такого вигляду
(2.9)
Дана система диференціальних рівнянь описує рух точки контакту (С) лопаті по
сферичній поверхні головки буряка під дією сил з боку лопаті.
Обчислимо часткові похідні та градієнт функції, які входять в
праві частини рівнянь (2.9)
(2.10)
Підставляючи одержані вирази в рівняння (2.9) одержимо
(2.11)
Продиференціюємо два рази по рівняння сфери (2.8) і отримаємо
, (2.12)
звідки
, (2.13)
, (2.14)
та після перегрупування складових виразу (2.14) отримаємо
. (2.15)
В прийнятій системі координат швидкість точки С буде дорівнювати
, (2.16)
тоді одержимо
. (2.17)
Виразимо рівняння (2.17) через нижчі похідні, в результаті чого отримаємо
. (2.18)
Дану властивість застосуємо для перетворення системи рівнянь (2.11).
Помножимо перше рівняння системи (2.11) на , друге на , а третє на і складемо
їх
(2.19)
звідки, враховуючи рівняння (2.12) отримаємо
(2.20)
Із рівняння (2.20) знаходимо нормальну реакцію в’язі півсфери
. (2.21)
З рівняння (2.12) одержимо
, (2.22)
тоді
, (2.23)
або . (2.24)
Таким чином, підставляючи (2.22–2.24) в (2.18) одержимо вираз для швидкості
точки С
. (2.25)
Підставимо вираз (2.21) в перші два рівняння системи (2.11). Таким чином
отримаємо таку систему рівнянь, яка характеризує рух точки контакту С лопаті по
сферичній поверхні головки коренеплоду
(2.26)
Для розв’язання системи диференційних рівнянь (2.26) необхідно визначити силу ,
під дією якої проходить відділення черешків гички від головки коренеплоду.
Згідно принципу незалежності дії сил окремо розглянемо деформації згину і
скручування лопаті. Деформація згину виникає внаслідок контакту лопаті з
головкою коренеплоду при поступальному русі машини вздовж рядка а також
відцентрової сили обертання робочого органу. Змоделюємо цей процес.
Розглянемо лопать як консольну балку з закріпленим кінцем (точка А) (рис. 2.2),
на яку діє сила на віддалі від вільного кінця лопаті.
Силу можна визначити з диференціального рівняння зігнутої осі балки [84].
Згинаючий момент в перерізі від початку координат дорівнює
. (2.27)
Диференціальне рівняння зігнутої осі балки має вигляд [84]
, (2.28)
де - жорсткість балки
Враховуючи рівняння (2.27) одержимо таке диференціальне рівняння
. (2.29)
Для визначення величини прогину проінтегруємо два рази отримане диференційне
рівняння (2.29)
. (2.30)
. (2.31)
. (2.32)
. (2.33)
Визначаємо сталі інтегрування і з початкових умов
при ;
при
З рівняння (2.31) знаходимо , а з рівняння (2.33) знаходимо .
Остаточно отримаємо
(2.34)
З (2.34) знайдемо і
(2.35)
(2.36)
В одержаних рівняннях:
- кут повороту пере
- Київ+380960830922