РОЗДІЛ 2
ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФОРМИ СЕРЕДИННОЇ ПОВЕРХНІ БЕЗМОМЕНТНИХ ОБОЛОНОК
2.1. Вибір елементів геометричного визначника поверхні
З позицій формоутворення напірну грань греблі можна віднести до статичної
поверхні, яка безпосередньо взаємодіє з гідростатичним навантаженням. Одним з
ефективних методів утворення таких поверхонь є каркасно-кінематичний метод [43,
85-87, 95, 97, 105 та інші].
Використання каркасно-кінематичного метода при проектуванні гребель дає
можливість отримати різні поверхні як за формою, так і за призначенням і є
ефективною методикою конструювання водопідпірних споруд. Геометрична частина
визначника поверхні враховує початкові і граничні умови поставленої змішаної
задачі і містить в собі частинну похідну наперед заданого диференціального
рівняння. При цьому в якості напрямних ліній розглядається одна або декілька
силових кривих від гідростатичного навантаження, а твірних – перерізи оболонки
горизонтальними площинами.
Зупинимося на виборі класу кривих, за допомогою яких можна описати твірні
каркаса поверхні, що конструюється. Відзначимо, що в існуючих способах
утворення неперервно-каркасних поверхонь за твірні приймаються криві лінії
другого й вищих порядків [86, 87, 105], обводи різного порядку гладкості й
фіксації, складені криві, отримані шляхом лінійних і нелінійних перетворень та
іншими способами.
Проте вказані методи і способи в чистому вигляді непридатні для даного випадку
із-за труднощів, що виникають при погоджуванні з диференціальним рівнянням
силової кривої і крайовими умовами. Спираючись на результати робіт
А.А.Можевітінова, А.Д.Кауфмана, А.В.Белова, М.Г.Елбанідзе, М.С. Ілья-шенка
доцільно запропонувати криві другого і більш високих порядків у якості твірних,
які найбільш зарекомендували себе в процесі експериментальних перевірок. При
цьому збільшиться кількість параметрів, що керують формою кривої.
При каркасно-кінематичному способі керування формою поверхні здійснюється
зміною твірних за допомогою алгебраїчних перетворень поверхні. Суть способу
полягає в тому, що по заданій просторовій лінії переміщується плоска твірна зі
змінними параметрами форми й положення, точка інциденції якої ковзає по
напрямній лінії.
Нехай у базовій системі координат Oxyz задано в якості напрямної силову криву .
Однопараметрична множина площин , що являється в’язкою горизонтальних площин
першого ступеня, які містять каркас плоских твірних, що перетинають напрямну
лінію. Каркас шуканої поверхні визначиться дугою плоскої кривої постійного або
змінного параметрів форми, заданої у системі координат Oxyz. Шляхом зміни
певних параметрів, можна керувати формою поверхні, що конструюється.
Сформулюємо основні вимоги, що ставляться до елементів каркасу- твірної і
напрямної ліній.
В загальному випадку напрямна є плоскою силовою кривою, форма й положення якої
залежать перш за все від гідростатичного навантаження і компоновочних умов
створу споруди, твірні – криві другого й більш високого порядку.
Вимоги, що ставляться до напрямної лінії і до твірних:
1. Напрямна лінія: - повинна бути силовою кривою, направленою опуклістю вниз; -
повинна визначати одну з головних кривин поверхні; -мусить описуватися функцією
з неперервними похідними першого й другого порядку; - функції, що задають цю
криву, повинні мати параметри, які дають можливість керувати формою напрямної,
отже і самої поверхні.
Рівняння сім’ї твірних: - мусить задовольняти початковим (крайовим) умовам; -
твірні повинні бути силовими лініями; - кривина твірних повинна змінюватися
плавно при їх русі вздовж напрямної; - рівняння твірних повинні мати параметри,
що дають можливість керувати формою кривої; - в точці переходу в пряму лінію
(точка спряження з контрфорсом) мусить мати нульову кривину у всіх напрямах; -
рівняння твірної повинно мати параметр, при зміні якого крива змінює свою форму
майже до прямої. При зміні форми кривої, кривина її повинна змінюватися плавно,
що обумовлює плавність всієї поверхні.
2.1.1. Конструювання елементів каркасу поверхні
З метою побудови раціональної форми оболонки напірної грані греблі виведемо
рівняння силових кривих, що описують каркас її серединної поверхні. При цьому
напрямною буде силова крива, що визначає одну з головних кривин поверхні і
розміщена в площині Oyz, а твірними - криві, які лежать у горизонтальних
перерізах оболонки.
Рівняння цих кривих визначимо з геометрично миттєво-змінних систем, здатних
сприймати поздовжні зусилля при забезпеченні мінімуму згинаючих зусиль.
Розглянемо криву тиску S, яка знаходиться на серединній поверхні оболонки, під
дією розподіленого навантаження. Рівняння рівноваги силової кривої S, згідно
диференціального рівняння гладкої нерозтяжної нитки [83] буде мати вигляд (рис.
2.1)
(2.1)
де - поздовжні сили, що діють по дотичній до кривої тиску відповідно в точках ;
- рівнодіюча розподілених сил на ділянці dS.
У скалярній формі рівняння (2.1) для кривих , що лежать у площинах паралельних
yOz i xOy, відповідно, матиме вигляд:
(2.2)
Рівняння (2.2) справедливі за умови, що координати точок силових кривих
пов’язані співвідношенням, відповідно:
(2.3)
Диференціальні рівняння (2.2) і (2.3) складають системи, які інтегруються. Якщо
виключити з рівнянь рівноваги допоміжну криволінійну координату, то загальний
інтеграл системи матиме три незалежні довільні сталі С1, С2 , С3, які
визначаються з граничних умов на кінцях силової кривої, а роль незалежної
змінної виконують координати глобальної системи Oxy: x для Oxy i y для Oyz.
Враховуючи принцип