РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ ГЕОМЕТРИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
ПАРАЛЕЛЬНИХ МНОЖИН
Основні теоретичні положення, що забезпечують перехід від понять геометричної оптики до аналогічних понять механіки було подано у розділі 1. Як було зазначено, окремою формою рівняння Гамільтона - Якобі є рівняння ейконала виду . Пропонується розширити можливості геометричного моделювання паралельних кривих через точне розв'язання рівняння ейконала і одержати сім'ї паралельних множин у вигляді паралельних ліній для початкових кривих, що самі себе перетинають або мають точки звороту. Графіком розв'язку рівняння ейконала є поверхня однакового нахилу (з кутом нахилу 45?). Сім'ю паралельних кривих на площині z = 0 у системі координат Оху можна побудувати як множину суміщених проекцій на координатну площину ліній рівня цієї поверхні. Класичний метод розв'язання рівняння ейконала спирається на розгляді характеристик, що утворюють інтегральну поверхню цього диференціального рівняння. Оскільки інтегральна поверхня, як правило, неоднозначна в напрямі осі Oz, то на практиці для інтегрування рівняння ейконала доцільно використовувати чисельні методи. Пропонується за допомогою програми PDEplot, що міститься у бібліотеці PDEtools математичного процесора Maple здійснити візуалізацію інтегральних поверхонь. У зв'язку з труднощами формалізації алгоритму пошуку початкової умови в диференціальній формі для конкретизації розв'язку запропоновано спосіб визначення диференціальної умови для розв'язання рівняння ейконала.
Для опису паралельних кривих і поверхонь більш перспективним є метод на основі нормальних рівнянь. Проблема створення загального методу побудови цих рівнянь вирішується на площині, коли плоску гладку криву задано у параметричному вигляді. Метод геометричного моделювання паралельних множин дістав подальшого розвитку для поверхонь, що задані у параметричному вигляді. Паралельні поверхні, як правило, є многолистими графічними образами, тому для їх опису доцільно застосовувати багатозначні функції в сенсі Коші (на відміну від однозначних функцій, за Діріхле - Лобачевським). Багатозначні ж функції в компактному вигляді можна описати переважно за допомогою комплексних функцій. А застосування maple-кодів забезпечує наявність у розв'язку комплексних функцій.
Опис паралельної поверхні відносно заданої може бути здійснений на основі поняття нормалізованого рівняння. Задача полягає у побудуві на певній відстані h поверхні Г2, паралельної заданій поверхні Г1, що є деякою множиною точок.
Конструктивне означення паралельних геометричних об'єктів, що введено у підрозділі 1.2, дозволяє здійснити побудову сім'ї паралельних ліній на площині, що моделюють графічні прояви процесу, який поширюється на площині, долаючи перепони.
2.1. Опис паралельних множин шляхом розв'язання диференціальних рівнянь Гамільтона - Якобі
2.1.1. Точний розв'язок рівняння ейконала для початкових кривих, що мають особливі точки або самі себе перетинають. Основні теоретичні положення, що забезпечують перехід від понять геометричної оптики до аналогічних понять механіки було подано у розділі 1. Як було зазначено, окремою формою рівняння Гамільтона - Якобі є рівняння ейконала [66, 79, 105, 209, 210, 221, 222, 225].
В [25, 89, 221, 222, 225] розглядалися питання опису та побудови сім'ї паралельних кривих відносно гладкої початкової кривої (еліпса, параболи, синусоїди) шляхом точного [89, 221, 222, 225] або наближеного [25] розв'язання рівняння ейконала. Ми пропонуємо розширити можливості геометричного моделювання паралельних кривих і через точне розв'язання рівняння ейконала і одержати сім'ї паралельних кривих для початкових кривих, що самі себе перетинають або мають особливі точки.
Ще раз нагадаємо, що сім'ю паралельних кривих на площині z = 0 у системі координат Оху можна побудувати як множину суміщених проекцій перерізів поверхні однакового нахилу (з кутом нахилу 45?), що задовольняє рівнянню ейконала
(2.1)
На основі робіт [62, 83, 84] розглянемо класичний метод розв'язання диференціального рівняння (2.1). Характеристики, що розглядаються, проходять через деяку точку (?, ?, ?), і вісь твірного прямого кругового конуса Монжа, що розглядається, є паралельною осі z. Цей конус є інтегральною поверхнею диференціального рівняння (2.1).
Нехай інтегральна поверхня z = z(x, y) для фіксованого x = ? при містить криву x = ?, y = ?, z = ?(?). Тоді z(?, ?) = ?(?). Звідси маємо
. (2.2)
Позначимо p = ?z/?x і q = ?z/?y. Беручи до уваги характеристичні рівняння x?(t) = 2p, y?(t) = 2q, z?(t) = 2p2 + 2q2, p?(t) = 0, q?(t) = 0, маємо представлення шуканого інтеграла в параметричному вигляді:
, , . (2.3)
Для неявного опису необхідно з рівнянь (2.3) визначити параметри t і ?. Наприклад, якщо ?(?) = ? + ??, то розв'язок має вигляд
. (2.4)
У випадку, якщо , маємо розв'язок
. (2.5)
Формули (2.4) і (2.5) на практиці використовувати не зручно, оскільки шукана інтегральна поверхня, як правило, неоднозначна в напрямі осі Oz. Тому доцільно використовувати чисельні методи для інтегрування рівняння (2.1), які дозволяють будувати наочне зображення інтегральної поверхні. Наприклад, у середовищі математичного процесора Maple у бібліотеці PDEtools існує програма PDEplot, що дозволяє здійснити візуалізацію інтегральних поверхонь диференціальних рівнянь у частинних похідних. Для конкретизації розв'язання в цій програмі необхідно зазначати початкову умову Коші у диференціальній формі.
Слід зауважити, що алгоритм пошуку умови в диференціальній формі погано формалізується. У зв'язку з цим, для середовища процесора Maple запропоновано метод визначення диференціальної умови для розв'язання диференціального рівняння (2.1). При цьому перед звертанням до програми PDEplot криву необхідно задати у параметричному вигляді.
Приклад 2.1. Побудуємо поверхню однакового нахилу, що на координатній площині Oxy спиралася б на циклоїду
x = t - sin t; y = 1 - cos t, (2.6)
або, у кодах Maple:
xx := t