РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЦИОНАЛЬНОГО РАЗБИЕНИЯ ПОСЕВНЫХ ПЛОЩАДЕЙ И ЕЕ ОСОБЕННОСТИ
2.1. Содержательная постановка задачи рационального разбиения посевных площадей по заданным требованиям
Рассмотрим задачу, которая возникает при формировании плана землеустройства некоторого отдельно взятого хозяйства.
Рис. 2.1. Область разбиения
Область (земли рассматриваемого хозяйства), изображенную на рис. 2.1, необходимо разбить на участки посевных культур (объекты ) таким образом, чтобы расстояния до мест хранения этих культур с учетом коэффициентов урожайности были минимальны и при этом выполнялись условия принадлежности объектов области разбиения , условия разбиения всей области , а также условия взаимного непересечения объектов .
В рассматриваемой задаче также необходимо выполнить дополнительные требования к разбиению:
1) на соотношение культур в плане посевов;
2) на минимальные расстояния от участков культур до объектов повышенной пожарной опасности;
3) на невозможность расположения рядом пожароопасных культур;
4) на выполнение условий севооборота культур.
Для полей пожароопасных культур необходимо выполнить ограничения:
5) на площадь участков (на которые разбиваются пожароопасные поля);
6) на размеры ортогональной оболочки участков;
7) ограничение на соблюдение минимальных расстояний между участками культур.
2.2. Математическая модель рационального разбиения посевных площадей по заданным требованиям
Задача, рассмотренная в 2.1, относится к классу задач геометрического проектирования [42], в которой моделируется реальный процесс разбиения области произвольной пространственной формы на подобласти (геометрические объекты), на которые накладываются определенные ограничения.
Для построения математической модели рассматриваемой задачи необходимо построить математическую модель реальных объектов и областей разбиения, формализовать взаимоотношения между ними (ввести ограничения) и представить в аналитическом виде критерий качества.
Рассмотрим модели некоторых классов точечных множеств, которые можно было бы использовать для описания множества и подмножеств разбиения. Согласно [42], любой материальный объект, как геометрическая фигура, должен быть представлен совокупностью точек, взаимное расположение которых определяло б его в виде чертежа натурной модели или другого изображения. Однако, класс точечных множеств в пространстве значительно более широкий, чем это необходимо для построения математических объектов материальных объектов. Например, на рис. 2.2 изображено множество с изолированными точками, на рис.2.3 - нигде не плотное множество.
Рис. 2.2.
Рис. 2.3. Таким образом, приведенные на рис.2.2-2.3 объекты не могут быть моделями реальных материальных объектов. В качестве адекватной математической модели реального объекта (некоторого участка полевой культуры и всего поля ) рассматривается класс точечных множеств пространства , удовлетворяющих соответствующим аксиомам [42].
Представим земли некоторого хозяйства в виде геометрического объекта . На этой земле могут быть некоторые области запрета для посева: реки, озера, железнодорожные и автомобильные дороги и т.д. Представим перечисленные объекты в виде областей запрета . Рассмотрим область (рис. 2.1). Свяжем с областью неподвижную систему координат, таким образом, чтобы ось 0Y совпадала с математическим ожиданием ветра в пожароопасный период.
Пусть в рассматриваемом хозяйстве необходимо засеять культур, при этом ожидаемый урожай -той культуры с одного гектара посевной площади равен . Пусть - посевная площадь (в гектарах), которая отводится под -тую культуру. Тогда - общая посевная площадь рассматриваемого хозяйства. Ожидаемый урожай со всей посевной площади равен Следовательно, коэффициент урожайности -той культуры составит .
Область необходимо разбить на участки под культур (объекты ) таким образом, чтобы расстояния до мест хранения этих культур с учетом коэффициентов урожайности были минимальны и при этом выполнялись следующие условия [170]:
; (2.1)
; (2.2)
; (2.3)
причем .
Условие (2.1) описывает принадлежность объектов области , условия (2.2) и (2.3) описывают, соответственно, условие разбиения всего множества и условие непересечения подмножеств (объектов ).
В рассматриваемой задаче также необходимо выполнить дополнительные требования к разбиению:
1) на соотношение культур в плане посевов , причем ;
2) на минимальные расстояния от участков культур до объектов повышенной пожарной опасности ;
3) на невозможность расположения рядом пожароопасных культур
4) на выполнение условий севооборота культур .
Пусть - участки, на которые необходимо разбить посевные площади под пожароопасные культуры. При этом необходимо выполнить ограничения:
5) на площадь участков ;
6) на размеры ортогональной оболочки участков стороны которой параллельны осям выбранной системы координат, т.е. , где - константа, которая выбирается из условий максимального времени выгорания, агротехнических и экономических условий;
7) ограничение на соблюдение минимальных расстояний между участками культур
После того, как выполнена постановка задачи рационального разбиения посевных площадей с учетом заданных требований, необходимо выполнить формализацию ограничений задачи с тем, чтобы в дальнейшем записать математическую модель рационального разбиения посевных площадей. Но перед тем как формализовать ограничения задачи, рассмотрим, каким образом можно записать информацию о множестве и подмножестве разбиения.
Всякий геометрический объект обладает пространственной формой, имеет заданные метрические характеристики, занимает некоторое положение в пространстве . Перечисленные характеристики задают геометрическую информацию об объекте [42]. Итак, геометрическая информация состоит из трех компонент, где: