РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ГЕОМЕТРИЧНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ КРИВИХ ПОСТІЙНОЇ ШИРИНИ
Для формалізації досліджень цілого класу кривих постійної ширини на площині пропонується скористатися новим складеним диференціальним рівнянням, якому задовольняють функції, що входять до опису всіх кривих постійної ширини.
Запропоновано варіанти розв'язків цього диференціального рівняння у вигляді ряду Фур'є з непарними доданками та у вигляді скороченого ряду, що дозволило на практиці описувати всі різновиди кривих постійної ширини - у тому числі і криві із самоперетинами.
Запропоновано спосіб обчислення мінімального значення константи інтегрування диференціального рівняння, починаючи з якого крива постійної ширини буде опуклою. Тобто запропоновано умову опуклості кривих постійної ширини, яка базується на формулі кривини кривої.
На основі знайденого опису кривих постійної ширини було одержано рівняння обвідних сім'ї узагальнених діаметрів, що дозволило розглянути нові схеми застосовувати кривих постійної ширини в механічних пристроях. Наприклад такіх, коли в результаті "перекочування" узагальненого діаметра кривої постійної ширини по відрізку, перпендикулярного паралельним "стінкам", забезпечується постійний точковий дотик цієї кривої і "стінок".
На основі поняття подери здійснено узагальнення кривої постійної ширини. А саме, в певному розумінні подера буде узагальненням поняття кривої постійної ширини. Суттєва відміна цих класів кривих полягає у тому, що при постійності довжин узагальнених діаметрів, у подери вони не будуть перпендикулярними до її дотичних.
2.1. Складання диференціального рівняння
для кривих постійної ширини
Нехай на площині Oxy задано фігуру G, якій належить початок координат. Вважатимемо, що границею фігури G буде опукла замкнута крива L. Рівняння першої дотичної до кривої L задамо у вигляді
, (2.1)
де параметр t буде змінюватися в інтервалі [0..2?].
В рівнянні (1) через h(t) позначено опорну функцію, яка визначає відстань від дотичної до початку координат (рис. 2.1).
Зважаючи на опуклість і замкнутість кривої L можна стверджувати, що існує друга дотична до кривої L з рівнянням , яка відповідає значенню параметра t+? для опорної функції. На рис. 2.2 зображено криву L з двома дотичними до неї в точках P і Q. Зазначимо, що між точками P і Q найкоротшою відстань буде тоді, коли пряма PQ буде перпендикулярною до обраних дотичних.
Рис. 2.1. Опорна пряма кривоїРис. 2.2. Ширина кривої на площині
Відстань між дотичними d(t) називають узагальненим діаметром опуклої замкнутої кривої. У випадку, коли значення d(t) = d =const, тобто коли воно не залежить від параметра t, то L має назву кривої постійної ширини.
Відомо, що опорна функція h(t) для всіх t з інтервалу [0..2?] має задовольняти трьом умовам:
i) замкнутості h(t) = h(t + 2?);
ii) постійності шини h(t) + h(t + ?) = d;
iii) опуклості .
Криву постійної ширини на площині можна вважати обвідною сім'ї прямих (2.1). Згідно традиційного способу опису зазначеної обвідної слід розв'язати відносно x і y систему рівнянь
; (2.2)
Шуканий розв'язок, тобто опис кривої L, можна одержати у вигляді:
; (2.3)
.
Звідси виникає задача визначити таку опорну функцію h(t), щоб обвідною була крива постійної ширини (як приклад - трикутник Релло).
З використанням умови складемо диференціальне рівняння відносно опорної функції h(t) (рис. 2.2). Для цього врахуємо координати точок
P(;) і
Q(;
),
а також формулу для обчислення довжини відрізка PQ. В результаті для визначення опорної функції h(t) одержимо диференціальне рівняння:
, (2.4)
де вираз слід розуміти так: спочатку виконується диференціювання функції h(t) по t, а потім в одержаному виразі аргумент t заміняється на t+?.
Реалізацію дій "диференціювання функції h(t) по t, а потім заміну аргументу t на t+?" у середовищі процесора Maple можна здійснити за допомогою програми:
h := t -> "рівняння опорної функції";
dh := unapply(D(h)(t), t);
f := (h(t)*cos(t) - dh(t)*sin(t) -
h(t+Pi)*cos(t+Pi) + dh(t+Pi)*sin(t+Pi))^2 +
(h(t)*sin(t) + dh(t)*cos(t) -
h(t+Pi)*sin(t+Pi) - dh(t+Pi)*cos(t+Pi))^2 = d^2;
factor(%);
За допомогою цих операторів можна перевірити, чи дійсно пропонований розв'язок задовольняє диференціальному рівнянню. Використання "штатного" оператора диференціювання diff(h,t) неможливо, адже він не підтримує дію підстановки аргументів.
2.2. Різновиди розв'язків диференціального рівняння
Розв'язок диференціального рівняння (2.4) шукатимемо у вигляді ряду Фур'є з непарними компонентами:
, (2.5)
де С - константа інтегрування, за допомогою якої можна враховувати геометричну форму кривої постійної ширини.
В цьому випадку шуканий опис кривої L постійної ширини можна одержати у вигляді:
; (2.6)
.
Формула дозволяє одержати розв'язки диференціального рівняння (2.4), що будуть описами кривих постійної ширини для:
N = 2:
; (2.7)
;
N = 3:
(2.8)
N = 4:
(2.9)
N =5:
(2.10)
В загальному випадку одержані криві постійної ширини матимуть самоперетини (далі для порівняння форми кривих обрано d = 1). На рис. 2.3 наведено приклади криві постійної ширини з самоперетинами.
Для унаочнення сім'ї