Математичні моделі та методи комп’ютерного моделювання процесу екстракції цукру в похилому дифузійному апараті

Розділ 2
РОЗРОБКА КОРЕЛЯЦІЙНИХ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕСУ ЕКСТРАКЦІЇ ЦУКРУ В ПОХИЛОМУ
ДИФУЗІЙНОМУ АПАРАТІ
2.1 Кореляційний аналіз процесу екстракції цукру в ПДА
2.1.1 Постановка задачі та вихідні передумови
Внаслідок того, що параметри бурякової стружки, яка поступає в ПДА, є
величинами випадковими, не детермінованим є і сам процес екстракції цукру із
цієї стружки. Випадковість, наприклад, одного із основних параметрів бурякової
стружки – її довжини обумовлюється різними геометричними розмірами буряків, які
поступають в бурякорізку, різним просторовим розміщенням буряків при входженні
під ніж та різним ступенем в’ялості.
Випадковість параметрів бурякової стружки не дозволяє оптимізувати вихід цукру
із неї в ПДА шляхом стабілізації швидкості її переміщення в апараті та
побудувати детерміновані моделі взаємозв’язків між параметрами процесу
екстракції.
Тож першим кроком на шляху побудови математичної моделі є кореляційний аналіз
процесу екстракції цукру із бурякової стружки в апараті.
При підготовці до постановки експерименту на цукровому заводі по запису в часі
всіх основних параметрів, які характеризують процес екстракції цукру з
бурякової стружки в ПДА, було встановлено, що в роботі [15] такий експеримент
проводився на Пальмірському та Ракитнянському цукрових заводах.
Проаналізувавши експериментальні дані, отримані Ф.В. Негодою та напрям
використання цих даних їх автором, встановлено наступне:
отримані експериментальні дані мають високий ступінь якості і інформативності,
оскільки зафіксовані через кожних 15 хвилин на протязі 144 годин;
автор використав ці дані лише для побудови математичної моделі ПДА методом
групового урахування аргументів О.Г. Івахненка [83, 84], і навіть не ставив
перед собою завдання кореляційного аналізу процесу екстракції цукру із
бурякової стружки бо зробив висновок, що з динамікою процесу екстракції при
побудові моделі можна не рахуватись;
аналіз наукових робіт Ф.В. Негоди та інших дослідників процесу екстракції цукру
з бурякової стружки, опублікованих після 1986 року, показав, що
експериментальні дані, отримані Ф.В. Негодою на Пальмірському та Ракитнянському
цукрових заводах, ніде не були використані для кореляційного аналізу цього
процесу;
обсягу отриманих даних цілком досить для кореляційного аналізу процесу
екстракції цукру в ПДА по 23 параметрам, тому недоцільно витрачати кошти і час
для проведення аналогічного експерименту на цукрових заводах Вінниччини, в той
час, як є можливість використати при розв’язанні поставленої нами задачі саме
ці дані, даючи детальну посилку на дослідника, який їх отримав.
2.1.2 Статистична обробка експериментальних даних
Основними параметрами, що характеризують процес екстракції в ПДА є:
– вхідні:
– витрати сировини;
– витрати дифузійного соку;
– температура екстрагента;
– режимні:
– температура в першій зоні ПДА;
– температура в другій зоні ПДА;
– температура в третій зоні ПДА;
– температура в четвертій зоні ПДА;
– еквівалентна довжина 100 г стружки;
– співвідношення витрат сировини;
– вихідний;
– втрати цукру в жомі.
Для максимізації прибутку цукрових заводів потрібно підтримувати в заданих
межах втрати цукру в жомі [3, 76]. Саме це і послужило нам критерієм вибору
вихідної координати.
Зазначимо, що в часі qq кожний із вибраних параметрів процесу екстракції цукру
з бурякової стружки залежать від зовнішніх збурень, тому всі ці параметри
будемо розглядати як випадкові процеси:
, (2.1)
реалізаціями яких є дискретні випадкові ряди,
(2.2)
що обумовлюється дискретним характером замірів, які утворюють ці ряди процесів
через кожні 15 хвилин.
Оскільки експериментальні дані знімались Ф.В. Негодою через кожні 15 хвилин, то
зручно всі виміри віднести до базового п’ятнадцятихвилинного відрізку, тобто
визначити час в вигляді
, (2.3)
де qq – час, виміряний в хвилинах.
В цьому випадку множина значень часу вимірювань буде мати вигляд
. (2.4)
2.1.3 Центрування випадкових процесів екстракції
Відомо [91], що кореляційні моделі є найбільш ефективним математичним апаратом
аналізу випадкових процесів за умови, що ці процеси є стаціонарними і мають
нульове середнє.
Тож перш ніж, будувати кореляційні моделі параметрів процесу екстракції цукру
із бурякової стружки в ПДА здійснимо їх центрування, тобто вилучимо із них
тренди [92].
На рисунках 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 точками зображені відрізки реалізацій
частини дискретних випадкових процесів із множини (2.2), представимо ці
реалізації з врахуванням співвідношень (2.3), (2.4) в вигляді
(2.5)
де (2.6)
– тренди дискретних випадкових процесів а
(2.7)
– їх центровані реалізації.
Рис. 2.1. Температура в другій зоні ПДА
Рис. 2.2. Довжина 100 г стружки
Рис. 2.3. Співвідношення витрат сировини
Рис. 2.4. Витрати дифузійного соку на виробництво
Рис. 2.5 Втрати цукру в жомі
Аналогічними співвідношеннями можна представити і інші дискретні випадкові
процеси із множини (2.2).
Із цих же рисунків 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 видно, що тренди (2.6) мають дві
складових – постійну та періодичну, а тому їх моделі можуть бути представлені у
вигляді:
для вхідних параметрів –
(2.8)
для режимних параметрів –
(2.9)
для вихідного параметру –
, (2.10)
де
. (2.11)
Застосовуючи метод найменших квадратів [92, 93] та програму Mathcad 7 PRO для
реалізацій, відрізки яких зображені на рис. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5,
отримаємо:
(2.12)
Значення коефіцієнтів в моделях (2.8), (2.9) трендів для реалізацій інших
параметрів процесу екстракції цукру із бурякової стружки із множини, визначеної
першою передумовою, отриманих із застосуванням запропонованої методики, є
такими:
, (2.13)
. (2.14)
На рисунках 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10 показ