РАЗДЕЛ 2
Влияние доминирующих систематических факторов
на кривые распределения ошибок геодезических измерений
2.1. Влияние систематических составляющих на кривые распределений ошибок одной
многократно измеренной величины
Как известно, ошибки технологических процессов измерения геодезических величин
находятся в сложном взаимодействии между собой. Результатом их совместного
влияния является общая ошибка результата (истинная ошибка или флюктуация). В
связи с этим для исследования точности результатов измерений необходимо
выделить влияние случайной и систематической частей на общую ошибку и найти
закономерности такого влияния.
В условиях массового производства геодезических измерений большинство ошибок
технологических процессов являются случайными. Поэтому и флюктуации результатов
измерений, являющиеся следствием указанных причин, также являются случайными.
Если же есть некоторая систематическая причина, вызывающая их одностороннее
отклонение, то под влиянием остальных причин общее явление случайного
рассеивания отклонений все же останется, однако вся область рассеивания
отклонений будет смещена .
В связи с этим изучение ошибок результатов геодезических измерений, отягощенных
систематической частью, следует вести именно методами математической
статистики, начиная с выявления законов распределения этих ошибок, так как они
отражают главнейшие условия возникновения ошибок.
Изучение распределения ошибок, отягощенных систематической частью, имеет
существенное значение для характеристики точности технологических процессов и
методик.
2.1.1. Однородное влияние случайных и систематических элементарных ошибок
Рассмотрение теоретических схем законов распределения ошибок геодезических
измерений начнем со случая. когда имеют место следующие условия их
возникновения:
Общая ошибка является суммой частных ошибок, вызванных действием значительного
числа случайных и некоторого числа систематических первичных факторов.
Число случайных факторов не меняется во времени.
Все случайные факторы по своему влиянию на общую ошибку примерно одного
порядка, т.е. среди них нет доминирующих.
Все случайные факторы взаимно независимы.
Число систематических факторов остается одинаковым для всех результатов
измерений геодезической величины.
Как известно, в теории вероятностей аналогичные и некоторые другие
дополнительные условия математического характера рассматриваются в предельных
теоремах [31]. Упрощенно используя сущность этих теорем, можно считать, что при
большом числе составляющих элементов и соблюдении принятых условий получается
вполне определенное распределение, называемое нормальным.
Аналитическое выражение кривой нормального распределения (рис.2.1.) имеет
следующий вид [1]
(2.1)
где - ордината кривой распределения,
– отклонение от центра группирования,
- среднее квадратическое отклонение или стандарт.
При обозначении координаты центра группирования отклонений через и отсчета от
начала координат, не совпадающего с центром группирования, кривая распределения
Гаусса может быть записана в общем виде так:
(2.2)
Таким образом, согласно предельным теоремам при отсутствии среди источников
ошибок отдельных факторов, доминирующих над совокупностью всех остальных,
распределение отклонений должно подчиняться закону нормального распределения
или близкому к нему. Если же имеются причины, вызывающие систематическое
смещение на величину всех отклонений, то полное рассеивание должно иметь
нормальное распределение, но с центром группирования, смещенным относительно
первоначального на величину .
2.1.2. Особенности кривых распределения при однородном влиянии случайной и
существенном положительном влиянии систематической частей общей ошибки
Рассмотренные выше условия, сопутствующие возникновению распределений,
подчиняющихся закону Гаусса, не всегда приводят к кривым распределения, по
внешнему виду совпадающие с кривой Гаусса.
Если центр группирования отклонений совпадает с теоретическим (номинальным), то
при действии положительной систематической части ошибки кривая распределения
отклонений будет представлять одну ветвь кривой Гаусса (рис.2.2).
Если же такого совпадения нет, вследствие того, что имеется какой-то
систематический фактор, смещающий в одну сторону все отклонения, то центр
группирования будет смещен от номинального значения на некоторую величину,
которую обозначим через (рис.2.3, 2.4.). Тогда только некоторая часть значений
восходящей ветви кривой расположена в зоне отрицательных отклонений и
накладывается на положительные отклонения, при этом в отличие от предыдущего
случая суммируются отклонения с различными ординатами исходной кривой. В
результате получается закон распределения, выражающийся следующей формулой:
(2.3)
где - среднее квадратическое отклонение (стандарт) исходного распределения по
закону Гаусса; - систематическое смещение центра группирования исходного
распределения по закону Гаусса.
На рис.2.5 показаны кривые распределения по формуле (2.3) для различных
соотношений . Как видно из рисунка, по мере увеличения кривые приближаются к
нормальной кривой Гаусса.
Таким образом, при наличии условий, сопутствующих возникновению рассеивания по
закону Гаусса, кривые распределения при наличии существенно влияющей
положительной систематической части имеют несимметричный вид с более крутой
восходящей или более пологой нисходящей ветвями, центр группирования кривых
смещен к нулевой границе поля рассеивания. Приближение этих кривых к форме
кривой Гаусса свидетельствует о наличии систематической части ошибки, смещающей
центр группирования исходного
- Київ+380960830922