РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ВАРІАЦІЙНОГО ПІДХОДУ ДО ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ
ЕЛЕМЕНТІВ ГЕОДЕЗИЧНИХ ВИМІРІВ
У відповідності з визначеними напрямами досліджень в дисертаційній роботі
розроблені теоретичні основи варіаційного підходу застосування методу скінчених
елементів геодезичних вимірів. Розробка скінченноелементних моделей геодезичних
вимірів та методики їх використань в рішенні конкретних геодезичних задач
виконується на основі регулярного застосування саме варіаційного підходу методу
скінченних елементів. Таким чином витримується системний підхід “від загального
до окремого”, що забезпечує єдність методів та моделей скінченних елементів в
рішення геодезичних задач.
На основі виконаних теоретико-математичних та практично-інженерних досліджень
сформовано понятійно-термінологічний апарат скінченноелементних моделей
геодезичних вимірів, визначено концепцію методу скінчених елементів геодезичних
вимірів та загальну схему рішення геодезичних задач методом скінчених
елементів.
Враховуючи те, що метод скінчених елементів є новим рішенням геодезичних задач,
особливу увагу приділяється перевірці достовірності запропонованих
скінченноелементних моделей геодезичних вимірів.
При наведені основних наукових положень теоретичних основ варіаційного підходу
враховувалось, що з однієї сторони основи методу скінчених елементів добре
відомі широким колам науковців та інженерів і фактично стали дієвим засобом
рішення багатьох загально-математичних та прикладних задач, а з іншої, що
основні поняття методу скінчених елементів, як відзначалось в першому розділі,
невідомі геодезичній громадськості.
Сучасний стан вирівнювання геодезичних побудов параметричним способом.
Рекурентне вирівнювання.
Як зазначалось в пункті 1.2.1. сучасний стан вирівнювання геодезичних побудов
характеризується переходом до використання параметричного способу вирівнювання.
Узагальнюючи останні дослідження в цьому напрямі, сучасне трактування
параметричного способу, як основного способу реалізації в програмних засобах
можна навести наступним чином [14, 110, 112, 113, 114, 115].
Введемо позначення:
– вектор точних значень необхідних невідомих - параметрів,
– вектор істинних значень виміряних величин (),
– вектор виміряних значень із відомою до постійного множника кореляційної
матриці .
Між векторами та мають місце функціональні залежності:
, (2.1)
Вираз (2.1) є вихідною системою рівнянь зв’язку.
Система (2.1) перевизначена, але сумісна. Її принциповий розв’язок записується
у вигляді , де - функція обернена до . Однак розв’язок у такому вигляді не
можливо отримати з таких причин:
* у загальному випадку неможливо підібрати функцію ;
* вектор істинних значень невідомий.
Для того, щоб подолати першу перешкоду, функцію приводиться до лінійного
вигляду шляхом розкладу в ряд Тейлора. Після чого для будь-якого
де – наближене, але близьке до значення невідомого, або в матричний формі для
системи (2.1)
, (2.2)
де вектори , , а матриця
Індекс “0” означає, що всі похідні по , але обчислені при .
Система (2.2) переписується у вигляді:
, (2.3)
де
, (2.4)
Враховуючи те, що істинні значення виміряних величин невідомі, то здійснюється
заміна вектора на виміряний вектор , що приводить систему (2.3) до несумісності
і вона вже не буде дорівнювати 0. Таким чином:
. (2.5)
Для встановлення змісту вектора (2.2) переписується без , але із врахуванням,
що є вектор істинних помилок, у вигляді:
. (2.6)
При порівнянні (2.5) та (2.6), видно, що при заміні вектора вектором , вектор
заміняється вектором . Оскільки поправка є оцінкою для істинної помилки з
оберненим знаком, то відповідно вектор є вектором поправок, а (2.5) – рівнянням
поправок.
Рішення перевизначеної системи (2.5) здійснюється методом найменших квадратів
. (2.7)
Ймовірнісно - статистичне обґрунтування методу найменших квадратів до задачі
вирівнювання має два напрями: пов’язаний з нормальним і непов’язаний з
нормальним розподілом. У першому випадку задача (за Гаусом-Марковим) ставиться
так: при умові, що виміри не містять систематичних помилок , необхідно знайти
такі оцінки для невідомих , щоб вони не були зміщені () і серед можливих
незміщених оцінок володіли би найменшою дисперсією. Умова (2.6) забезпечує
такий розв’язок задачі, причому мінімальною дисперсією володіє не лише невідомі
, але й будь-які їх функції. Умова незміщенності може бути виконана лише для
лінійних функцій, тому існує необхідність лінеаризації шляхом розкладення
функцій в ряд Тейлора.
Імовірнісне обґрунтування методу найменших квадратів, що припускає нормальний
розподіл вектора вимірів, пов’язане з принципом максимальної правдоподібності.
Функція правдоподібності має вигляд:
де .
Щодо питання оцінки точності вирівняних вимірів та їх функцій, треба взяти до
уваги, що вирівняний вектор , а кореляційна матриця вектора має вигляд ..
Враховуючи те, що вектор має вигляд , то застосовується узагальнена теорема
оцінки точності
. (2.8)
де – обернена до матриця.
З визначення кореляційної матриці випливає, що Оскільки, з іншого боку будь-яка
дисперсія , то приходимо до висновку, що діагональні елементи матриці є
обернені ваги невідомих.
Припускається, що є будь-яка функція вирівняних невідомих
. (2.9)
Після розкладу її в ряд Тейлора функція набуває вигляду або в матричній формі ,
де матриця .
Застосовується узагальнена теорема оцінки точності
, (2.10)
Вираз (2.10) залишається в силі, я
- Київ+380960830922