РОЗДІЛ 2
ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА
І ОСНОВНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ
Наукові задачі математичного моделювання полягають у вивченні взаємного впливу
факторів та процесів, які діють у системі одночасно або послідовно, закономірно
або випадково і створюють картину такої складності, яка робить неможливим
теоретичний аналіз та прогноз, непрактичним або нереальним достатньо повний та
цілеспрямований експеримент.
Безпосередньо ціль моделювання при цьому полягає в розрахунках
просторово-часових змін полів різних величин.
Для здійснення математичного моделювання потрібна сама математична модель,
тобто математичне рівняння або система рівнянь, та деякий інформаційний масив,
який містить описання крайових умов, внутрішніх джерел та стоків, а також
функції та константи, які відображають такі зв’язки між змінними, що входять в
модель, які не можуть бути отримані за допомогою самого моделювання, а мають
бути визначені експериментально, чи встановлені шляхом узагальнення натурних
спостережень, чи виведені аналітично або навіть задані інтуїтивно.
2.1. Основні співвідношення теорії волого- та теплопереносу
Ізотермічний перенос вологи, який може здійснюватись як у рідкій, так і в
паровій фазах, прийнято описувати лінійними законами, де силою виступає
градієнт потенціалу, тиску або напору (форма закону Дарсі), або градієнт
концентрації чи вологості (форма закону Фіка).
За законом Дарсі основні співвідношення, що описують рух рідини в ненасичених
грунтах, представляються у вигляді
(2.1)
в зонах повного вологонасичення
(2.2)
де v – швидкість руху рідини; W – об’ємна вологість; K=K(W) – коефіцієнт
вологопереносу, в області повного вологонасичення - коефіцієнт фільтрації.
Дифузійна форма закону вологопровідності має вигляд
, (2.3)
D – коефіцієнт капілярної дифузії, або
, (2.4)
якщо грунт є однорідним та можна знехтувати гравітаційним потоком. Дифузійна
форма закону вологопровідності незастосовна при вологості, близькій до повного
вологонасичення.
Тепло в грунтах передається шляхом кондукції (молекулярний перенос за рахунок
коливання атомів та молекул), конвекції (рух порового розчину та повітря),
випромінювання.
За відсутності конвективного переносу процес розповсюдження тепла в грунтових
середовищах без фазових перетворень описується рівнянням Фур’є
(2.5)
де - коефіцієнт теплопровідності, с – питома теплоємкість грунту, - щільність.
Процес розповсюдження тепла з урахуванням кондуктивного та конвективного
переносів описують рівнянням
(2.6)
де - швидкість, питома теплоємкість та щільність води.
Розглянемо модель процесу тепловологопереносу при промерзанні грунту із
фазовими переходами у всьому об’ємі масиву без виділення фронту промерзання.
Вона описується наступною системою рівнянь [19, 81]:
(2.7)
(2.8)
де , - об’ємна кількість незамерзлої води та льоду, K - коефіцієнт
вологопереносу, H – гідродинамічний напір, , - щільність льоду, води та скелету
грунту, Т – температура, - коефіцієнт теплопровідності, - швидкість руху
незамерзлої води, – теплота фазового перетворення води.
Розвиток фазових переходів у товщах горних порід у ряді випадків тісно
пов’язаний з масопереносом поглиненої речовини до фронту кристалізації. Одним з
важливих процесів такого типу є промерзання вологих тонкодисперсних грунтів.
Міграція вологи, що при цьому виникає, крім перерозподілу сумарної вологості,
при певних умовах призводить до інтенсивного пучення. Тепло- та масообмінні
характеристики порід є функціями сумарної вологості, що різко змінюються.
Коефіцієнт теплопровідності промерзаючої зони суттєво залежить від сумарної
вологості, що формується.
Оскільки практично відсутні експериментальні дані, які дозволяють визначити
характеристики мерзлих грунтів, необхідно задати фізично обгрунтовані апріорні
залежності для розрахунку цих параметрів.
Для того, щоб розв’язати рівняння (2.7), (2.8), необхідно визначити вміст
незамерзлої води та льоду в залежності від повної об’ємної вологості грунту і
температури.
Очевидно, що до талої зони промерзаючого грунту застосовні всі методи
визначення гідрофізичних функцій, які використовуються в гідрофізиці
незамерзаючих грунтів. Для зони фазових переходів, яка, взагалі кажучи, охоплює
всю мерзлу товщу, іноді пропонують визначати гідрофізичні функції по тим самим
апроксимаційним формулам, що і при додатніх температурах, підставляючи замість
вологості вміст незамерзлої води. Але такий підхід дає велику похибку, тому в
більшості випадків використовують модифіковані формули [50, 51, 66, 68].
Позначимо сумарний вміст води в грунті , що промерзає. Тоді
де - масовий вміст води , що не замерзла, і льоду в грунті.
Залежність між масовим і об'ємним вмістом води і льоду буде виражатися
формулами
(2.9)
де - об'ємна щільність скелета грунту (або щільність сухого грунту).
Рівняння (2.7), (2.8) запишемо відносно масового вмісту води, використовуючи
співвідношення (2.9). Отримаємо
(2.10)
(2.11)
де - ефективна теплоємкість мерзлого грунту, що визначається наступним чином:
Замінивши в рівнянні (2.10) коефіцієнт фільтрації на коефіцієнт дифузії ,
запишемо його в дифузійній формі відносно деякого фіктивного вмісту вологи ,
який у талій зоні буде збігатись з сумарним вмістом води, а в мерзлій зоні буде
наближатись до вмісту води, що не замерзла.
(2.12)
Система (2.11), (2.12) роз
- Київ+380960830922