РОЗДІЛ 2
Основні методи дослідження
2.1. Термінологія
2.1.1. Допоміжні позначення і домовленості. Домовимось позначати малими латинськими літерами - числа, а саме:
- комплексні числа - параметри,
- натуральні числа або нуль;
та літери в готичному написанні - визначаються в кожному конкретному випадку;
- змінні.
Малими грецькими літерами позначатимемо- сукупності параметрів, а відповідними великими грецькими літерами -- суми параметрів сукупностей.
Малими грецькими літерами зі значками внизу - представників відповідних сукупностей.
Фразу "нехай задано сукупність впорядкованих пар параметрів " розумітимемо так: між параметрами сукупності та встановлено взаємооднозначну відповідність за допомогою нумерації. Нумерація лише вказує на зв'язок між параметрами, а не на їх порядок. Отже, можна вважати, що ті параметри, значення яких нас цікавлять, мають найстарші номери.
Аналогічно розумітимемо і фразу: "задано сукупність параметрів " - задано поточну нумерацію параметрів, яку при потребі можна змінити - перенумерувати параметри. Отже, і тут, вважатимемо, що ті параметри, значення яких нас цікавлять, мають найстарші номери.
2.1.2. Основні позначення. Оскільки майже всі літери латинської та велика кількість літер грецької абеток, як великих так і малих, причому в різних графічних варіантах, а також чимала кількість літеросполучень вже задіяні для позначення різних функцій, то пропонується для нових узагальнень або для тих функцій, які мали однакові з "класичнішими" функціями позначення використовувати складне позначення.
А саме - префікс - одну чи кілька латинських літер (позначення класу або типу якому належить функція), та змістовну частину, яку можна зберегти тотожною або близькою до "класичної" (вказівка на об'єкт).
2.1.3. Проблема термінології. Як вже зазначалося у вступі, існує проблема неповної та нечіткої термінології, неузгоджених та неповних позначень.
Спершу, про загальні означальні слова. Під висловлюванням, що "об'єкт має тип " будемо розуміти, що цей об'єкт є близький за формою (на вигляд) до (узагальнює ). Це відповідає певним традиціям, так функція типу Міттаг-Лефлера узагальнює функцію Міттаг-Лефлера заміною у розвиненні в степеневий ряд цієї функції на і переходить у функцію Міттаг-Лефлера при
Другим прикладом є ледь не єдина (за зауваженням О.І. Маричева) спроба чітко визначити, що [142]:
Функцією гіпергеометричного типу від змінної називають довільну функцію яку можна подати в околі точки у формі лінійної комбінації функцій вигляду
а також усяку функцію, яку можна неперервно отримати з такої лінійної комбінації переходами до границі за параметрами, де - деяка функція сукупностей параметрів та - узагальнена гіпергеометрична функція [109, 4.1 (1)]:
Згідно домовленості, запропонуємо узагальнення С. Акопяна [108] узагальненої гіпергеометричної функції Райта [103]:
називати узагальненою гіпергеометричною функції типу Райта. Позначатимемо її, оскільки авторське скорочене позначення збігається з позначенням узагальненої гіпергеометричної функції що бачиться незручним, або розлогіше:
де - гамма функції.
ОЗНАЧЕННЯ 2.1. Функцією гіпергеометричного типу в широкому розумінні від змінної назвімо будь-яку функцію яка виражається через лінійну комбінацію функцій вигляду:
а також, функцію, яку можна отримати з такої лінійної комбінації граничними переходами за параметрами, де - узагальнена (за Райтом) гіпергеометрична функція (2.1).
Префікс "гіпер-" розумітимемо як вказівку на наявність більшої кількості параметрів, ніж у об'єкта, до якого він додається. Наприклад, гіпергеометрична функція є сумою ряду, послідовність членів якого узагальнює геометричну прогресію, гіпербесселева функція залежить від індексів (1.10) порівняно з бесселевою функцію першого роду залежною від одного індексу .
Це і знайшло відображення у префіксі при позначення функції - від "hyper-".
ОЗНАЧЕННЯ 2.2. Функцією класу назвімо функцію гіпергеометричного типу в широкому розумінні вигляду:
де
Порядком функції класу називатимемо - кількість пар параметрів функції.
Означальне слово рід розумітимемо як синонім до слова підклас.
Інших означальних слів не використовується.
2.2. Методи теорії функцій комплексної змінної
2.2.1. Порядок росту і тип цілих функцій.
ОЗНАЧЕННЯ 2.3 [133]. Ціла функція має порядок росту якщо
де
Якщо то для точнішої характеристики росту цілої функції запроваджують поняття типу.
ОЗНАЧЕННЯ 2.4 [133]. Типом цілої функції порядку називають число
З означення 2.3 випливає, що ціла функція може мати скінченний порядок тоді і лише тоді, коли
і для жодного від'ємного нерівність (2.5) не справджується для досить великих
Так само, з означення 2.4 випливає, що ціла функція скінченного порядку має скінченний тип тоді і лише тоді, коли
і для жодного від'ємного нерівність (2.6) не справджується для досить великих
У роботі С. Акопяна [108], доведено твердження, що узагальнена гіпергеометрична функції типу Райта (2.1) має порядок:
і тип
2.3. Апарат Н-функцій Фокса
У теорії функцій гіпергеометричного типу, широко застосовується -функція Фокса, що узагальнює всі функції, перетворення Мелліна яких, хоча б в узагальненому розумінні, виражається через добуток Г-функцій.
ОЗНАЧЕННЯ 2.5 [146]. -функцію Фокса порядку де означають формулою:
де
Умови збіжності цього інтегралу вміщено в додатку А.
2.4. Елементи теорії дробового інтегродиференціювання
2.4.1. Оператори Рімана -Ліувілля.
ОЗНАЧЕННЯ 2.6 [133]. Інтегралом від порядку () з початком у точці називають функцію:
де
Перетворімо інтеграл ще так:
У випадку вважають, що
ОЗНАЧЕННЯ 2.7 [133]. Похідною порядку () від функції з початком у точці називають функцію:
де та існує похідна функції
Приміром, оператор дробового інтегро-диференціюва