РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ПЕРЕДУМОВИ ДОСЛІДЖЕННЯ ТЕХНОЛОГІЧНОГО ПРОЦЕСУ ЗМІШУВАННЯ СИПКИХ МАТЕРІАЛІВ
2.1. Дифузійна модель змішування сипких матеріалів стрічково-лопатевим змішувачем
Під час транспортування сипких вантажів за допомогою шнека відбувається інтенсивне перемішування компонентів суміші, що дає можливість використати шнек як один із найбільш ефективних засобів для перемішування сипких сумішей [26, 81].
Якість роботи змішувача оцінюють за рівномірністю концентрації компонентів суміші в кінцевому продукті. Для більшості змішувачів безперервної дії можна застосувати дифузійну модель змішування [81], яка описує процес перемішування компонентів суміші в припущенні, що конструкція змішувача і наявні компоненти суміші можуть утворити псевдозріджений шар, частинки якого рухаються за законами броунівського руху.
У цьому випадку загальне рівняння зміни концентрації основного компоненту в суміші описується таким диференціальним рівнянням [81] :
, (2.1)
де - концентрація компонента;
- відповідно, коефіцієнти поздовжнього та поперечного змішування;
- швидкість переміщення суміші поздовж шнека;
- координата, направлена поздовж осі шнека;
- радіальна координата шнека.
Внаслідок малого співвідношення радіуса шнека до його довжини () можна вважати, що перемішування суміші поздовж радіальної координати відбувається набагато швидше, ніж поздовж напрямку транспортування, а тому, з достатньою для практики точністю, можна вважати, що концентрація компоненту при певному значенні координати визначається лише цією координатою і не залежить від . У цьому випадку задача стає однопараметричною і рівняння набуває вигляду [81]:
. (2.2)
Дослідження якісних характеристик процесу змішування, як правило, базується на встановленні реакції моделі на стандартне збурення, яке часто описується як імпульс за допомогою дельта - функції Дірака [54]:
, (2.3)
де - маса введеної речовини на вході;
- загальна маса речовини у змішувачі.
В результаті розв'язку задачі отримаємо характерний розмір пристрою (довжину шнекового змішувача), при якому вплив початкового збурення на неоднорідність вихідної концентрації не перевищує заданого значення. Очевидно, що нескінчений змішувач зведе збурення до нуля, але незначні коливання концентрації в межах допустимої норми можуть бути досягнуті при певних, розумних з конструктивної точки зору, значеннях габаритних розмірів змішувача. При цьому значну роль відіграють конструктивні особливості змішувача, коефіцієнт заповнення шнека матеріалом, величина щілини між валом і гвинтовою спіраллю, кут нахилу гвинтової лінії, швидкість обертання тощо. Їх сумарний вплив на процес змішування характеризується зведеним коефіцієнтом , збільшення якого інтенсифікує процес змішування і сприяє зменшенню загальної довжини робочої частини змішувача.
Розв'язок рівняння (2.2) проведемо при таких початкових і граничних умовах [81]:
при , якщо ;
при , якщо ; (2.4)
при , якщо .
Диференціальне рівняння (2.2) із граничними та початковими умовами (2.4) має розв'язок у вигляді фундаментального розв'язку рівняння параболічного типу [81]:
. (2.5)
де - маса введеного СМ на вході;
- крок спіралі;
- кутова швидкість обертання спіралі;
- тривалість змішування;
- загальна маса СМ у змішувачі;
- експериментальне значення коефіцієнту поздовжнього змішування;
- теоретичний коефіцієнт поздовжнього змішування.
З іншого боку, зміна концентрації речовини, яка була миттєво введена у змішувач, може бути обчислена згідно рівняння зміни густини розподілу від часу перебування частинок у змішувачі, яке для даного типу змішувача має вигляд:
, (2.6)
де - відносна дисперсія логарифма часу перебування частинок матеріалу у змішувачі;
- середній час перебування частинок у змішувачі.
Необхідна довжина шнекового змішувача з умови заданої дисперсії часу перебування частинок у змішувачі становить:
.
де - коефіцієнт поздовжнього змішування при відсутній щілині між валом і гвинтовою спіраллю робочого органу;
, де - відносна дисперсія логарифму часу перебування частинок матеріалу у змішувачі.
Час, необхідний для зниження збурення на вході до заданої величини визначимо із рівняння (2.6):
, (2.7)
Введемо коефіцієнт згладжування, який позначимо
. (2.8)
Він характеризує відношення вхідного збурення до відповідної вихідної величини. Цей вираз дає можливість визначити необхідну довжину змішувача при заданому коефіцієнті згладжування .
Зменшенню довжини циліндра змішувача сприяє збільшення величини дисперсії , і значення коефіцієнта поздовжнього змішування :
. (2.9)
При заданих геометричних параметрах змішувача можна оцінити коефіцієнт згладжування нерівномірності концентрації суміші
. (2.10)
Теоретичне значення коефіцієнта повздовжнього змішування можна визначити з формули (2.9)
. (2.11)
Звідси видно, що він прямо пропорційний кубу кутової швидкості обертання шнека та кубу кроку шнека і обернено пропорційний довжині шнека.
Конструктивні параметри шнекового змішувача суттєво впливають на величину . Як видно із наведених результатів експерименту (додатки Б.1, Б.2, Б.3), збільшення обертів шнека, коефіцієнта завантаження та кроку шнека збільшує концентрацію контрольного компоненту у суміші, що еквівалентно зменшенню коефіціента згладжування і покращенню процесу змішування.
Рівняння 2.9 буде справедливим для теоретичного розрахунку довжини змішувача з робочим органом без щілини між валом та гвинтовою спіраллю, на якій процес змішування буде відбуватись із забезпеченням необхідної якості перемішування компонентів суміші, тобто нерівномірність компонентів суміші по всьому об'єму не буде перевищувати якогось заданого значення.
Дослідимо вплив наявності щілини між спіральною стрічкою та валом, що