РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ НЕУСТАЛЕНИХ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В ОДНОВИМІРНИХ ОБЛАСТЯХ ІЗ ТОНКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ
Багато неусталених фізичних процесів (дифузії тепла, фільтрації рідини та ін.), що відбуваються в неоднорідних середовищах із тонкими включеннями, приводять до розв'язку початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу з умовами спряження для одновимірного простору. У другому розділі розглянуті нові математичні моделі для таких задач.
У другому розділі розглядається вісесиметрична задача дифузії в двокомпонентному середовищі з тонким включенням, що описується початково-крайовою задачею для параболічного рівняння з природніми неоднорідними умовами спряження і коефіцієнтами, залежними від часової змінної, та з головними неоднорідними умовами спряження. Для них будуються узагальнені задачі, що визначені на класах розривних функцій, доводяться теореми про єдиність узагальнених розв'язків. Доводяться теореми про існування та єдиність наближених узагальнених розв'язків, що отримуються за допомогою розривних функцій МСЕ. Для дискретизації відповідних задач Коші використані різницеві схеми Кранка - Ніколсона.
Для задачі з неоднорідною головною умовою спряження розглядається можливість заміни головної умови природною з малим параметром.
Ефективність запропонованих обчислювальних алгоритмів підтверджу-ється результатами розв'язання відповідних задач із відомим точним розв'язком.
2.1. Чисельна дискретизація параболічних рівнянь з умовами спряження та коефіцієнтами, залежними від часової змінної. Задача з розривним розв'язком
2.1.1. Початково-крайова задача.
Нехай в області (, , , визначене рівняння
, , (2.1)
де , , , , , .
На кінцях відрізку задані змішані неоднорідні крайові умови
, , (2.2)
, , (2.3)
де , .
В точці при виконуються неоднорідні умови спряження неідеального контакту
, , , (2.4)
, , , (2.5)
де - невід'ємні сталі, ; , , , .
Початкова умова має вигляд
, , , (2.6)
де , .
Таким чином, маємо диференціальну початково-крайову задачу (2.1)-(2.6) для рівняння параболічного типу з розв'язком, що допускає розрив по просторовій змінній та розривним потоком в точці .
Нехай , та задовольняє умовам .
Означення 2.1. Класичним розв'язком задачі (2.1)-(2.6) називається функція , що задовольняє співвідношенням (2.1), (2.6).
Узагальнена задача полягає у відшуканні функції , що задовольняє рівності
, , (2.7)
, , (2.8)
де - множина функцій , які інтегровані з квадратом разом з похідними в областях та задовольняють крайову умову (2.2); ; - простір Соболєва.
Розв'язок задачі (2.7), (2.8) називаємо узагальненим розв'язком задачі (2.1)-(2.6). Легко бачити, що класичний розв'язок задачі (2.1)-(2.6) є і узагальненим, а якщо узагальнений розв'язок досить гладкий на , , то він є і класичним, а умови (2.3)-(2.5) виконуються автоматично, тобто вони природні.
Лема 2.1. Якщо узагальнений розв'язок існує, то він єдиний.
Д о в е д е н н я. Справедливість леми встановлюється від супротивного. Нехай існують два різких узагальнених розв'язки . Тоді
. (2.9)
Після інтегрування співвідношення (2.9) на проміжку , з врахуванням (2.9) та нерівності Фрідріхса, отримуємо протиріччя
,
де , .
Лема доведена.
2.1.2. Наближений узагальнений розв'язок.
Введемо до розгляду наступні норми та напівнорми:
,
,
, , .
Введемо до розгляду лінійну множину функцій з базисом За допомогою цього базису побудуємо підмножину функцій , кожна з яких може бути записана у вигляді
, , (2.10)
де - деяка відома функція із така, що ; , . Тут .
Означення 2.2. Наближеним узагальненим розв'язком задачі (2.1)-(2.6) називається функція , що задовольняє рівності
, , (2.11)
, . (2.12)
Теорема 2.1. Нехай - узагальнений розв'язок початково-крайової задачі (2.1)-(2.6), а - її наближений узагальнений розв'язок з . Тоді існують такі додатні сталі , що має місце нерівність
, (2.13)
Д о в е д е н н я. Має місце рівність
. (2.14)
З врахуванням обмеженості , - нерівності, нерівностей Коші -Буняківського, Фрідріхса, слідуючи [36, 131], з (2.14) отримаємо шукану нерівність (2.13).
Теорема доведена.
Теорема 2.2. Нехай класичний розв'язок задачі (2.1)-(2.6) досить гладкий на , . Тоді для наближеного узагальненого розв'язку має місце оцінка
, (2.15)
де ; - множина неперервних на , функцій, що є поліномами степеня змінної на кожному відрізку розбиття проміжку (див. [36]); , .
Д о в е д е н н я. Оцінка (2.15) випливає з (2.13), якщо замість взяти функцію , що є повним інтерполяційним поліномом розв'язку на кожному при . Тут - базис простору функцій , , та є повними поліномами степеня на , , а . Теорема доведена.
Враховуючи зображення (2.10), з (2.11), (2.12) отримаємо задачу Коші для системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку виду
,, (2.16)
, , (2.17)
де
, , ,
, ,
,
,
.
Легко бачити, що розв'язок задачі Коші існує і єдиний, тобто існує єдиний наближений узагальнений розв'язок розглядуваної початково-крайової задачі.
Задачу Коші (2.16), (2.17) можна розв'язати за допомогою різницевої схеми Кранка - Ніколсона
, , (2.18)
, (2.19)
де , , , , .
Теорема 2.3. Нехай - досить гладкий на класичний розв'язок початково-крайової задачі (2.1)-(2.6). Тоді існують додатні сталі , такі, що при для похибки наближеного розв'язку , що отримуємо за допомогою множини та різницевої схеми (2.18), (2.19), виконується нерівність
. (2.20)
Д о в е д е н н я.
Нехай . Тоді
.
Отже,
,
де .
Із останньої рівності з врахуванням - нерівності, нерівності Фрідріхса та трикутника одержуємо
, (2.21)
де - деякі відомі додатні сталі.
Враховуючи результати робіт [106, 131] з цієї нерівності легко отримуємо шукану нерівність (2.20). Теорема доведена.
Теорема 2.4.