РАЗДЕЛ 2
ОГРАНИЧЕННЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ПО ЛЯПУНОВУ, ЕГО ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И
ПРИМЕНЕНИЕ
2.1. О задаче устойчивости форм регулярных или хаотических колебаний упругих систем
Одним из наиболее распространенных подходов к анализу моделей нелинейной динамики распределенных систем является дискретизация этих моделей, то есть, переход от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чаще всего для этого используется метод Бубнова-Галеркина.
Рис. 2.1. Cхематическое представление прогиба упругой системы в виде одной гармоники ряда Фурье
Пусть прогиб нелинейной упругой системы приближенно представлен в виде одной гармоники ряда Фурье по пространственным координатам с коэффициентом, зависящим от времени (схематично это представлено на рис.2.1). Тогда после применения метода Бубнова-Галеркина задача сводится к исследованию системы с одной степенью свободы. Зачастую задача сводится к анализу неавтономного уравнения Дуффинга или подобных уравнений. Наиболее интересно поведение такого рода систем при наличии нескольких положений равновесия, диссипации и внешнего периодического воздействия. Если при малых значениях амплитуды внешнего воздействия наблюдается регулярное поведение системы (переход к замкнутой траектории на фазовой плоскости, близкой к одному из положений равновесия, показан на рис.2.2), то при небольшом увеличении этой амплитуды происходит переход к хаотическим движениям (рис.2.3). Исследованию такого рода перехода посвящено большое количество работ, опубликованных главным образом в последние два десятилетия [48, 92 и др.].
Рис. 2.2. Регулярное движение
Если же прогиб упругой системы аппроксимируется двумя гармониками ряда Фурье по пространственным координатам (схематично это представлено на рис.2.4), то после дискретизации получается система с двумя степенями свободы. Обобщенные координаты этой системы (например, и ) соответствуют коэффициентам указанного ряда Фурье.
Рис.2.3. Хаотическое движение
Рис. 2.4. Схематическое представление прогиба упругой системы
в виде двух гармоник ряда Фурье
Рис.2.5. Конфигурационная плоскость
Предположим, что внешнее периодическое воздействие возбуждает колебания (регулярные или хаотические) по одной из форм пространственных колебаний, например, , . Эта форма колебаний может быть устойчивой или неустойчивой. Неустойчивость здесь означает "перекачку энергии" из одной формы колебаний в другую. На плоскости переменных (конфигурационная плоскость) указанной форме колебаний отвечают движения на оси ОХ, причем эти движения, как уже отмечалось, могут быть регулярными или хаотическими (см. рис.2.2 и рис.2.3). В задаче орбитальной устойчивости этой формы колебаний переменная выступает в качестве малых вариаций (рис.2.5).
2.2. Некоторые математические модели нелинейной динамики распределенных систем с одной и несколькими положениями равновесия и их дискретизация
2.2.1. М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь д л я и с с л е д о в а- н и я у с т о й ч и в о с т и ф о р м н е л и н е й н ы х к о л е б а н и й с т е р ж н я. Рассмотрим нелинейные изгибные колебания стержня длиной l (рис.2.6).
Рис.2.6. Нелинейный стержень конечной длины
В рамках гипотез Кирхгоффа уравнения движения стержня имеют вид [24]:
, (2.1)
(2.2),
где - пространственная координата;
u - продольное перемещение стержня;
- прогиб стержня;
- плотность материала стержня;
E - модуль упругости;
S - площадь поперечного сечения стержня;
I - момент инерции;
- сжимающая сила;
- распределенная внешняя нагрузка.
Предположим, что на концах стержень свободно оперт, т.е. при и выполняются условия:
, .
Будем рассматривать динамический процесс без учета распространения высокочастотных продольных упругих волн, тогда в первом уравнении системы (2.1) можно отбросить инерционный член . В результате уравнение (2.1) упрощается и принимает вид:
. (2.3)
Функция определяется в результате интегрирования полученного равенства в пределах от 0 до l:
.
С учетом полученного выражения для и уравнения (2.3) исходная система уравнений (2.1)-(2.2) сводится к следующему уравнению:
. (2.4)
Рассмотрим закритическое поведение стержня, т.е. случай, когда . Пусть внешняя нагрузка представлена в виде
. (2.5)
Разложим функцию прогиба w в ряд Фурье по синусам, ограничиваясь двумя гармониками ряда:
, (2.6)
где n - натуральное число, не равное единице.
Подставим равенства (2.5) и (2.6) в уравнение (2.4). После несложных преобразований мы получим уравнение следующего вида:
, (2.7)
где Х определяется выражением:
. (2.8)
Применяя к уравнению (2.7) процедуру Бубнова-Галеркина, получим следующую систему уравнений:
В развернутом виде эта система уравнений представляется как нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения и :
(2.9)
где - коэффициент, определяющий вязкое трение,
Полученная система дифференциальных уравнений (2.9) позволяет исследовать устойчивость решения , . Эта задача соответствует задаче устойчивости формы вынужденных колебаний по отношению к другим гармоникам ряда Фурье по х, представляющему прогиб стержня W.
2.2.2. М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь д л я и с с л е д о в а- н и я у с т о й ч и в о с т и ф о р м н е л и н е й н ы х к о л е б а н и й а р к и. Основное уравнение движения пологой арки (рис.2.7) может быть представлено в виде [74 и др.]:
(2.10)
где и - координаты соответственно деформированной и первоначальной центральной линии арки,
- массовая плотность,
- функция поперечной нагрузки;
- продолное усилие;
и - жесткости на изгиб и растяжение-сжатие соответственно.
Рис.2.7. Пологая арка
Второе соотношение в (2.10) получено после отбрасывания в полной системе уравнений инерционного