РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ НАГРІВАННЯ ВНУТРІШНІМИ ДЖЕРЕЛАМИ РУХОМИХ СЕРЕДОВИЩ
2.1. Нелокальна інтегральна умова
Нехай середовище в декартовій системі координат займає область , обмежену поверхнею . Проведемо через довільну точку всередині її, площини, нормалі до яких збігаються з головними напрямками теплопровідності.
Рис. 2.1
Вилучимо на цих площинах елементи площі і припустимо, що цьому середовищу властива прямолінійна теплова анізотропія, тобто в кожній її точці мають місце три взаємно перпендикулярні головні напрямки теплопровідності. Розташуємо систему декартових координат так, щоб осі збігалися з головними напрямками теплопровідності. Процес теплопровідності в середовищі, що займає область і обмежена поверхнею , описується скалярним полем температури , векторним полем потоку тепла , де , і скалярним полем питомої теплової енергії . Ці поля породжуються джерелами ,залежать від стоків відводу тепла з поверхні .
Закон збереження теплової енергії для довільної області виражає рівність енергії, що виділяється джерелами тепла за відрізок часу , сумі енергій, витраченої стоками, , витраченої на підвищення внутрішньої енергії , енергії, переданої потоками тепла через поверхню за той же проміжок часу, і енергії, що переноситься середовищем зі швидкістю
, (2.1)
де і - елементи об'єму і поверхні;
- орт зовнішньої нормалі до ;
- скалярний добуток векторів і ;
і - теплоємність і щільність середовища.
Рівність (2.1) можна записати так:
, (2.2)
чи, враховуючи довільність проміжку інтегрування по , у вигляді:
(2.3)
де .
Приведені рівності (2.1)-(2.3) являють собою інтегральне рівняння балансу теплової енергії в довільній області .
Виходячи з того, що середовища з діючими внутрішніми джерелами тепла, мають переважно один напрямок анізотропії властивостей, рівняння (2.3) для області можна записати як
(2.4)
де - замкнута тривимірна область;
- границя області;
питома теплоємність матеріалу,;
питома щільність матеріалу, ;
коефіцієнт теплопровідності матеріалу, ;
щільність джерел тепла, що залежить від температури.
В цьому співвідношенні враховані також і умови тепловіддачі.
Таку умову використаємо замість однієї з крайових умов, коли інформація щодо параметрів температурного процесу неповна, або недостовірна. Умови такого типу називають нелокальними інтегральними умовами [10,86].
2.2. Побудова нелінійних моделей теплопровідності рухомих
ізотропних та анізотропних середовищ
Скориставшись формулою Остроградського-Гаусса, після виключення інтеграла по замкнутій поверхні, перетворимо (2.3) до вигляду:
(2.5)
де ,
- оператор дивергенції.
В силу основної леми варіаційного числення [14] для довільної області рівняння (2.5) справедливе тільки при рівності нулю підінтегрального виразу:
, , . (2.6)
Вираз (2.6) являє собою диференціальне рівняння балансу теплової енергії в точці і є диференціальним рівнянням у частинних похідних - містить оператор над векторним полем і похідну за часом від внутрішньої питомої теплової енергії . У рівнянні (2.6) шуканими є векторна і скалярна функції. Тому разом з цим рівнянням варто розглядати рівняння, що характеризують середовище, у якому відбувається тепловий процес, і які встановлюють зв'язок між векторним полем , скалярними полями , , і полем температури . У загальному випадку ці залежності запишуться так:
, , . (2.7)
Таким чином, задачу, в якій досліджуються температурні поля рухомого, або нерухомого анізотропного середовища, що має змінні фізичні властивості, які залежать від температури, можна записати у вигляді
, (2.8)
, ,
, ; (2.9)
, , ; (2.10)
В умовах високотемпературного нагрівання необхідно враховувати, що втрати тепла з поверхні відбуваються як за рахунок конвективного теплообміну із навколишнім середовищем, так і за рахунок радіаційного. Тому крайові умови на одній або кількох границях з повинні бути записані як
. (2.11)
Для пристосування моделі (2.8)-(2.10) до потреб практичних задач необхідно провести конкретизацію виду функції джерел тепла . Розглянемо це на прикладі вибору математичної моделі джерел при електронагріві металів в електроконтактних та індукційних установках. Саме ці способи розігріву розробляються на даний час найбільш активно, так як вони є ефективними в сенсі продуктивності й автоматизації процесу нагрівання, при цьому використовуються екологічно чисті та ресурсозберігаючі технології. Нагрів здійснюється двома шляхами: безпосереднім підведенням електричного струму в зону нагрівання за допомогою рухомих і нерухомих контактів [71] (електроконтактний розігрів) і за допомогою індукування електричного струму в середовищі змінним електромагнітним полем (індукційний розігрів) [70,73].
З проходженням електричного струму невід'ємно пов'язане виділення тепла всередині металу, що нагрівається. Оскільки кількість тепла, як відомо, залежить від опору провідника, то важливим є питання апроксимації залежності питомого опору від температури. Для більшості металів ця залежність [78] в першому наближенні може бути представлена у вигляді
, (2.12)
де - питомий опір металу при , Ом.м;
температурний коефіцієнт опору, 1/гр.
В основі індукційного нагрівання лежить індукування в поверхневому шарі середовища струмів змінним магнітним полем [73]. В цьому випадку розподіл струму по перетину тіла, що нагрівається, буде нерівномірним. Для характеристики нерівномірного розподілу величини струму по радіальному перерізу служить щільність струму: , де - площа поперечного перерізу середовища, через яке він протікає. Найбільша щільність струму на поверхні, найменша - на її осі. Відношення активного опору змінному струму до опору постійному