РОЗДІЛ 2
СУТНІСТЬ СКІНЧЕННО-ЕЛЕМЕНТНОЇ МЕТОДИКИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ СТАЦІОНАРНОЇ ДИНАМІКИ БАГАТОШАРОВИХ ЦИЛІНДРІВ
2.1. Переваги застосування МСЕ для моделювання механічних процесів
Метод скінченних елементів (МСЕ) у даний час є одним з найпоширеніших чисельних методів розв'язування задач механіки, оптики, акустики, електротехніки та інших галузей сучасного природознавства. Це пояснюється його широкою універсальністю, можливістю представлення складних конструкцій за допомогою скінченних елементів простої конфігурації. МСЕ відрізняється зрозумілою, чіткою математичною та інженерною інтерпретацією, а також пристосованістю для ефективного застосування сучасної комп'ютерної техніки.
Застосування МСЕ дозволяє звести математичні моделі технічних об'єктів до систем однотипних алгебраїчних рівнянь. Будь-яка редукція задач математичної фізики зрештою містить, як відзначав Г.І. Марчук [137], розв'язування системи алгебраїчних рівнянь певної структури. МСЕ є ефективним і універсальним апаратом для таких перетворень.
Основна ідея методу скінченних елементів полягає в тому, що будь-яку неперервну величину можна апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на множині кусочно-неперервних функцій, визначених на скінченній кількості підобластей. Кусочно-неперервні функції визначаються за допомогою значень неперервної величини у скінченній множині точок даної області.
У загальному випадку неперервна величина наперед невідома. Потрібно визначити значення цієї величини у деяких внутрішніх точках області. Дискретну модель можна побудувати, припустивши, що числові значення цієї величини у кожній точці області відомі, а після цього перейти до загального випадку. Процес побудови дискретної моделі неперервної величини при застосуванні методу скінченних елементів складається з наступних етапів.
1. У даній області фіксується скінченна кількість вузлових точок. При цьому значення неперервної величини у кожній вузловій точці вважається змінною, яка повинна бути визначена.
2. Область визначення неперервної величини розбивається на скінченне число підобластей (елементів), які мають загальні вузлові точки і в сукупності апроксимують форму області.
3. Неперервна величина апроксимується на кожному елементі многочленом, який визначається за допомогою вузлових значень цієї величини. Для кожного елементу може бути визначений свій многочлен, проте многочлени повинні підбиратися так, щоб зберегти неперервність шуканої величини уздовж границь елементу.
Метод скінченних елементів спочатку був створений і застосовувався як один з прямих методів розв'язування варіаційних задач мінімізації функціонала енергії [116, 119]. На сьогодні даний метод розглядається як проекційно-сітковий метод (одна з форм методу Гальоркіна). Тут у якості базисних вибираються функції з скінченними носіями (фінітні функції), відмінні від нуля лише на невеликій частині області, де визначений розв'язок задачі.
Для розв'язування систем звичайних диференціальних рівнянь, до яких можна редукувати задачі стаціонарної динаміки багатошарових циліндрів, що розглядаються у даній дисертаційній роботі, у якості таких базисних функцій можна використовувати лінійні фінітні функції:
, (2.1)
n=1,2,...,N,
де n - номер елементарного відрізка,
N - кількість елементарних відрізків (скінченних елементів), на які розбивається область визначення розв'язку задачі.
Вибрані певним чином точки, у яких знаходять значення невідомих функцій, називають вузлами.
На будь-якому елементарному відрізку, шукану функцію можна представити за допомогою лінійної апроксимації
. (2.2)
Тут , .
Кожний елементарний відрізок у поєднанні з визначеними на ньому лінійними базисними функціями є найпростішим прикладом скінченного елемента з двома вузлами на його границях. Базисну функцію, яка у одному вузлі елемента дорівнює одиниці, а у решті вузлів - нулю, називають функцією форми цього скінченного елементу. В даному випадку кожний з скінченних елементів має дві функції форми, що визначаються рівністю (1.1). Наближене рішення задачі будують у вигляді:
. (2.3)
Розв'язок (2.3) є неперервною кусочно-лінійною функцією.
Коефіцієнти апроксимації (2.3) можна визначити, розв'язавши варіаційну задачу про екстремум функціонала, рівняння Ейлера для якого є диференціальною формою вихідної задачі. Ці коефіцієнти можна також визначити, застосовуючи метод Гальоркіна. У розділі 3 показано застосування обох підходів для побудови системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно вузлових значень невідомих функцій переміщень.
Слід зазначити, що базисні функції як і їх похідні, мають ненульові значення тільки на двох суміжних елементах, що мають спільну вузлову точку. Крім того, на кожному -му елементі ненульовими є тільки базисні функції та і, а також їх похідні. Це дозволяє застосувати властивість аддитивності за проміжком інтегрування до інтегралів, які отримуємо при застосуванні методу Гальоркіна, і спростити їх обчислення, відкинувши нульові доданки.
З урахуванням заданих граничних умов застосування методу Гальоркіна або процедури мінімізації функції змінних, яку отримуємо при підстановці (2.3) у функціонал, дозволяє одержати систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих вузлових значень функції, що є розв'язком задачі. Для системи звичайних диференціальних рівнянь матриця відповідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь на елементі матиме стрічкову та симетричну структуру. Це дозволяє застосувати ефективні чисельні методи її розв'язування. Крім того, дана матриця є додатно визначеною, що підвищує її стійкість до похибок округлення у процесі знаходження невідомих. Властивості додатної визначеності та симетричності початкового диференціального або інтегрального оператора задачі при застосуванні проекційно-сіткового методу скінченних елементів зберігаються. Таким чином, алгоритм МСЕ володіє перевагами як варіаційних, так і сіткових методів.
Перевагою методу скінченних елементів є також зрозуміла смислова інтерпр
- Київ+380960830922