ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Наследственно-деформируемых систем
Широкое использование новых композиционных материалов в авиа- и судостроении, а
также других отраслях машиностроения требует дальнейшего совершенствования
механических моделей деформируемых тел и разработки методов и методики их
расчета с учетом вязкоупругих свойств материала тонкостенных конструкций.
Как известно, математические модели задачи наследственной теории вязкоупругости
описываются сложными интегродифференциальными уравнениями в частных
производных, полученных на основе линейных и нелинейных интегральных моделей со
слабо-сингулярными ядрами наследственности.
В данной главе на основе интегральных моделей, приведенных выше, построены
обобщенные математические модели нелинейных задач о флаттере вязкоупругих
изотропных и ортотропных пластин, панелей и оболочек, обтекаемых сверхзвуковым
потоком газа. Для исследования однослойных пластин и оболочек на основе теории
пологих оболочек Маргерра [64], построены математические модели применительно к
исследованию проблем прочности, жесткости и устойчивости тонкостенных
конструкций типа авиационных крыльев (рис. 2.1). Для построения математических
моделей вязкоупругих трехслойных пологих оболочек используется теория пологих
оболочек Э.И.Григолюка [62]. Аэродинамическое давление рассчитано в
соответствии с поршневой теорией [101].
При реальном учете физико-механических свойств материала изучаемого объекта,
математической моделью рассматриваемых задач служат системы ИДУ в частных
производных с соответствующими начальными и граничными условиями. Полученные
нелинейные ИДУ в частных производных с помощью метода Бубнова-Галеркина при
рассмотренных граничных условиях сводятся к решению систем нелинейных
обыкновенных ИДУ с постоянными или переменными коэффициентами относительно
функции времени.
2.1. Математические модели задачи о флаттере вязкоупругих пластин и оболочек,
обтекаемых сверхзвуковым потоком газа
Большинство конструктивных элементов ЛА, покрытых тонкой обшивкой, можно
схематизировать либо в виде прямоугольных, либо в виде цилиндрических панелей
или оболочек. Различие в геометрии этих элементов не является чисто формальным
признаком и в значительной степени обуславливает специфику их аэроупругого
поведения. В силу этого задачи моделирования панельного флаттера можно разбить
на две большие группы. Первая включает задачи, относящиеся к плоским пластинам,
вторая содержит задачи, связанные с цилиндрическими панелями и оболочками.
Рис. 2.1. Крыло летательного аппарата
Линейные задачи аэроупругости, касающиеся плоских однослойных пластин, к
настоящему времени достаточно хорошо изучены теоретически [132, 136, 148-150,
153, 255]. Результаты теории в ряде случаев сравниваются с данными
экспериментов [146].
Математическому моделированию флаттера упругих элементов второй группы
посвящено большое количество теоретических исследований. Однако моделированию
задач флаттера вязкоупругих пластин, цилиндрических и пологих оболочек
посвящено сравнительно небольшое количество работ. Последнее объясняется
специфическими аналитическими трудностями исследования пластин, цилиндрических
и пологих оболочек.
Потребности новой техники, в особенности бурно развивающейся авиационной
промышленности за последние пятьдесят лет, определили необходимость развития
нелинейной теории пластин и оболочек в сверхзвуковом потоке газа.
Моделирование задачи флаттера упругих пластин и оболочек даны в работах
А.А.Мовчана [148-152], В.В.Болотина [34, 27-33, 35-37], Р.Д.Степанова
[196-198], Э.Д.Скурлатова [187, 188], Ю.Ю.Швейко [250, 251], В.Е.Лампера
[126-129], С.Д.Алгазин, И.А.Кийко [2, 3], Ю.Н.Новичкова [156-160], Е.А.Курилова
[123], Н.И.Жинжер [94, 95], Дауэлл [80-84, 286], S.W.Yuen, S.L.Lau [312],
E.A.Thornion, D.Y.Fallon [310] и J.W.Miles [301] других. Эти задачи
рассматривались как в линейной постановке, так и с учетом геометрической и
аэродинамической нелинейностей.
Широкое применение композиционных материалов в авиационной технике привело к
необходимости изучения задач оптимального проектирования тонкостенных
конструкций, обладающих вязкоупругими свойствами. В соответствии с этим
представляет значительный интерес анализ особенностей по отношению к
аналогичным задачам для упругих тонкостенных конструкций. Такой анализ
интересен и важен ещё и потому, что наличие демпфирующих свойств вязкоупругих
материалов может оказаться достаточным, чтобы предпочесть их для создания
соответствующих тонкостенных конструкций из какого – либо материала,
обладающего требуемыми свойствами.
Первые математические модели для исследования по вязкоупругим пластинкам были
построены В.И. Матяша [143] и Г.С. Ларионовым [131]. С помощью метода
усреднения исследуется флаттер пластинки.
Основные зависимости, относящиеся к моделям вязкоупругой пластины и оболочки,
основанные на гипотезе Кирхгоффа-Лява, были приведены в работах [25, 263] и
других. Использование данной модели позволяет достичь достаточной точности при
решении ряда практических задач.
1. Рассмотрим в начале колебания пологой вязкоупругой оболочки, обтекаемой с
внешней стороны сверхзвуковым потоком газа; невозмущенную скорость потока V
будем считать направленной вдоль образующей (рис. 2.2). Будем пользоваться
обычными гипотезами теории упругих оболочек [53, 55], считая справедливой
гипотезу Кирхгоффа-Лява и полагая прогибы малыми по сравнению с толщиной
оболочки.
Компоненты тензора деформаций в каждой точке оболочки ,, связаны с
компонентами тензора напряжений ,
- Київ+380960830922