РАЗДЕЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В данном разделе дается определение класса задач оптимизационного
геометрического проектирования, задается представление геометрической
информации о трехмерных геометрических объектах, осуществляется постановка
основной задачи исследования. Рассматриваются основные средства моделирования
оптимизационных задач размещения в рамках теории геометрического
проектирования. Вводится понятие Ф-функции и приводятся основные ее свойства.
Представлены нормализованные Ф-функции всевозможных комбинаций рассматриваемых
в задаче базовых 3D геометрических объектов, имеющих форму цилиндра и
параллелепипеда.
2.1. Определение класса задач оптимизационного геометрического проектирования
Во многих областях человеческой деятельности возникают оптимизационные задачи,
при решении которых осуществляется обработка и разные средства преобразования
геометрической информации, а также синтез новых пространственных форм. Данные
задачи, связаные с обработкой больших объемов геометрической информации и
учетом большого количества различных требований и ограничений, выходят за рамки
класической теории исследования операций.
Необходимость выделения таких задач в отдельный класс, так называемых задач
геометрического проектирования, вызвано нестандартностью методов их
моделирования и решения. Наиболее сложными среди данного множества задач есть
задачи, которые состоят в поиске оптимального размещения (упаковки) конечного
множества геометрических объектов произвольной пространственной формы в
заданных областях при наличии различных ограничений и некоторых критериев
качества размещения. Все они связаны с обработкой геометрической информации в
той или иной части, где необходимо разместить геометрические объекты
поизвольной формы.
Геометрическая информация g о некотором точечном множестве (геометрический
объект) S [16] состоит из трех компонент:
- совокупности пространственных форм ;
- набора метрических характеристик , которые определяют размеры
пространственных форм ;
- параметров размещения , которые задают месторасположение точечного множества
S.
Отметим [16], что в некоторых разделах геометрии компоненты и могут
отсутствовать. Если заданы все три компоненты геометрической информации, то
соответствующий геометрический объект S является точечным подмножеством
определенного метрического пространства H. То есть, геометрическая информация g
индуцирует S в пространстве H.
Геометрическая информация g может быть определена как однозначно, так и с
точностью до заданих множеств ”значений” некоторых параметров компонент , , .
Такие параметры называются независимыми переменными информации g и обозначаются
как .
Пусть информация индуцирует точечные множества в метрическом пространстве H, а
- в метрическом пространстве , при этом компоненты и , где - пустое множество.
Определение 2.1. Отображение вида
называется задачей геометрического проектирования [16].
Определение 2.2. Оптимизационной задачей геометрического проектирования
называется задача, в которой независимые переменные u определяются как решение
определенной задачи оптимизации [16].
Значит, в оптимизационных задачах геометричсекого проектирования необходимо
найти экстремальное значение определенного функционала и соответствующую этому
значению экстремаль .
Как следует из определения 2.2, в общем случае задачи геометрического
проектирования отличаются по следующим признакам:
- вид пространств H и ;
- вид (особенности) геометрической информации g;
- вид (особенности) отображения P;
- вид функционала , который оптимизируется, и вектора .
2.2. Представление геометрической информации об объектах в пространстве R3
При создании интеллектуальных систем решения оптимизационных задач
геометрического проектирования, разработке эффективных методов их решения
возникает необходимость построения единой вычислительной основы представления
информации об объектах реального мира. При этом формальная модель описания
информации должна быть однозначной, конструктивной, полной, не избыточно
информативной, компактной и удобной для вычислительных процессов.
В классе оптимизационных задач геометрического проектирования в качестве
математических моделей материальных объектов выбираются непустые точечные
множества T О R3, которые удовлетворяют следующим требованиям:
1) ? канонически замкнутое множество [122];
2) внутренность (int) и замыкание (cl) множества имеют один и тот же
гомотопический тип [122];
3) в любой точке x О cl T существует окрестность Ux М cl T, такая, что int Ux и
cl Ux имеют один и тот же гомотопический тип. Точечные множества,
удовлетворяющие требованиям 1)-3), называются -объектами [16].
Представление информации о –объектах как о математических моделях материальных
объектов в задачах геометрического проектирования связано с понятием
геометрической информации [16], введенной как совокупность трех элементов:
пространственной формы –объекта; метрических характеристик, определяющих
“размеры” –объекта; параметров размещения, задающих местоположение –объекта в
пространстве R3.
Как известно, пространственная форма линейно связного точечного множества в
топологическом пространстве определяется его гомотопическим типом. Однако в
евклидовом пространстве R3, топологическое определение пространственной формы
является слишком грубым, поскольку при таком подходе не учитывается все
разнообразие пространственных форм точечных множеств, порождаемых линейностью и
метрикой евклидового пространства (например, не учитываются такие понятия как
выпуклость, вогнутость, порядок
- Київ+380960830922