РОЗДІЛ 2
МЕТОД УРІЗАННЯ ОБЛАСТІ ВИЗНАЧЕННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ОДНОВИМІРНИХ СИНГУЛЯРНИХ
СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ
Одним із основних напрямків даного дослідження є створення і теоретичне
обґрунтування обчислювальних методів розв’язування сингулярних спектральних
задач для сформульованих у розділі 1 узагальнених математичних моделей динаміки
складних фізичних процесів.
Наявні методи розв’язування подібних задач (див. п.1.3) поряд із своїми
перевагами мають ряд недоліків: обмеженість сфери застосування методу,
громіздкість, використання додаткових чисельних методів, що потребують
спеціального дослідження щодо накопичення похибок чи стійкості обчислень. У
зв’язку з цим особливо актуальною є проблема створення зручного у використанні,
математично обґрунтованого методу, який забезпечував би із гарантованою
точністю розв’язування сингулярних спектральних задач. В якості такого
пропонуємо метод, що полягає у зведенні сингулярної задачі до двох
несингулярних задач про власні значення на урізаній області визначення
диференціальної задачі з виключеними особливостями та крайовими умовами Діріхле
і Неймана на межі області урізання. При цьому власні значення допоміжних задач
забезпечують двосторонню апроксимацію власних значень сингулярної задачі і
монотонно збігаються до них при наближенні межі урізання до границі області
визначення сингулярної задачі.
В даному розділі дамо теоретичне обґрунтування методу двосторонньої
апроксимації власних значень для узагальнених математичних моделей
квантово-механічних систем (п.1.1).
2.1. Задача Штурма-Ліувілля з виродженням
На інтервалі дослідимо сингулярну задачу Штурма-Ліувілля
(2.1)
, ,
(2.2)
особливість якої полягає у перетворенні функції в нуль при (для спрощення
викладу розглядаємо особливість лише в одній точці).
Припустимо для визначеності, що функція при Дослідимо поведінку розв’язку
крайової задачі (2.1),(2.2) в околі точки якщо , де – неперервна на інтервалі
функція.
Для спрощення викладу дослідимо рівняння
(2.3)
поширюючи отримані результати на крайову задачу (2.1),(2.2).
Мають місце такі леми.
Лема 2.1 [133, с. 627-628]. Нехай і – два лінійно незалежні розв’язки рівняння
(2.3), коефіцієнт якого має вигляд , де – неперервна на інтервалі функція. Якщо
– обмежений розв’язок, що подається у вигляді , , де – неперервна на інтервалі
функція і , то другий розв’язок при є обмеженим.
Лема 2.2 [133, с. 628-629]. Нехай , а коефіцієнт або обмежений, або прямує до
нескінченності при так, що , , , де – неперервна на півінтервалі функція. Тоді
для обмеженого розв’язку рівняння (2.3) виду , , де – неперервна на функція і ,
виконується умова
(2.4)
якщо має місце нерівність
Використовуючи методику доведення леми 2.2, неважко отримати подібну лему для
.
При доведенні наступних лем для визначеності покладемо, що в околі особливих
точок розв’язок .
Лема 2.3. Нехай – обмежений розв’язок рівняння (2.1) і функція для . Тоді
функції і на півінтервалі мають протилежні знаки.
Доведення. Із рівності (2.1) випливає, що на , а функція монотонно зростає і,
внаслідок леми 2.2, прямує до нуля при . Оскільки функція , то . Лема
доведена.
Лема 2.4. Нехай – обмежений розв’язок рівняння (2.1) і для . Тоді функції і на
півінтервалі мають однакові знаки.
Доведення. З того, що і , маємо: функція монотонно зростає від . Оскільки , то
функція , що й треба було довести. Лема доведена.
Лема 2.5. Нехай – розв’язок задачі
,
(2.5)
,
і для . Тоді функції і на мають протилежні знаки.
Доведення. Нехай функція для . Оскільки , то має місце і функція монотонно
зростає. З того, що , i , маємо .
Лема доведена.
Лема 2.6. Нехай – розв’язок задачі (2.5) і для . Тоді знаки функцій і на
відрізку співпадають.
Доведення. Нехай для функція . З того, що , маємо і функція монотонно зростає.
Оскільки , а на відрізку функції і , то і на . Лема доведена.
Лема 2.7. Нехай – розв’язок задачі
,
(2.6)
,
і для Тоді функції і мають протилежні знаки на відрізку .
Доведення. Нехай для Оскільки функції і , то функція монотонно зростає. З того,
що і , випливає на відрізку .
Лема доведена.
Лема 2.8. Нехай – розв’язок задачі (2.6) і функція для . Тоді функції і на
відрізку мають однакові знаки.
Доведення. Нехай на відрізку . Із випливає, що функція монотонно зростає.
Оскільки , а , то функція на відрізку .
Лема доведена.
Теорема 2.1. Нехай у задачі (2.1),(2.2) , де – неперервна на інтервалі функція,
а коефіцієнт або обмежений або прямує до нескінченності при так, що , , , де –
неперервна на функція. Тоді при в власні значення несингулярних задач
(2.7)
,
(2.8)
,
забезпечують двосторонню апроксимацію власних значень задачі (2.1),(2.2).
Доведення. Для розв’язування сингулярної задачі (2.1), (2.2) скористаємось
методом заміни області визначення урізаною областю , в якій точки сингулярності
уже вилучені.
Дослідимо спільно задачі (2.1),(2.2) і (2.7). Для цього подамо розв’язок задачі
(2.7) у вигляді
де задовольняє крайовим умовам
,
із яких випливає, що
, .
(2.9)
Для отримуємо допоміжну крайову задачу
(2.10)
, .
Оскільки є власним значенням задачі (2.7), що відповідає власній функції , то
для існування розв’язку крайової задачі (2.10) із неоднорідною правою частиною
повинна виконуватися умова ортогональності правої частини рівняння (2.10) до ,
яку подамо у вигляді
(2.11)
Вираз у правій частині перетворимо таким чином :
У результаті, з врахуванням (2.9), із рівності (2.11) отримуємо
(2.12)
Досліджуючи спільно розв’язки задач (2.1),(2.2) i (2.8), одержуємо
(2.13)
Розглянемо велич