РОЗДІЛ 2
ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧ ДИФУЗІЙНОГО ПЕРЕНЕСЕННЯ ДЛЯ СЕРЕДОВИЩ З ПОКРИТТЯМИ І
ВКЛЮЧЕННЯМИ ТА ЇХ ДОСЛІДЖЕННЯ
2.1. Основні співвідношення та рівняння
2.1.1. Криволінійна система координат, пов’язана з серединною поверхнею шару.
Нехай - Евклідів простір, віднесений до ортонормованої фіксованої бази .
Розглянемо відкриту множину в з границею (рис. 2.1).
Рис.2.1. Серединна поверхня шару.
Позначимо і . За означенням серединною поверхнею криволінійного шару S є
відображення множини :
. 233
Вважатимемо, що всі точки серединної поверхні є такими, що вектори
445
є лінійно незалежними для всіх точок . Ці вектори є дотичними до координатних
кривих і , проведених в точці . Вони визначають площину, дотичну до поверхні в
будь-якій точці . Одиничний вектор, нормальний до дотичної площини,
визначається за формулою
657
де - евклідова норма в просторі , породжена скалярним добутком . Точка і три
вектори визначають локальну базу на серединній поверхні, тобто криволінійну
систему координат, пов’язану з серединною поверхнею.
Коефіцієнти першої і другої фундаментальних форм серединної поверхні
визначаються формулами
869
У випадку, якщо дотичні вектори , координатні криві утворюють спряжену сітку
координатних кривих на поверхні.
Вважатимемо надалі, що серединна поверхня віднесена до ортогональних і
спряжених координат, тобто виконуються співвідношення
. 10711
У цьому випадку кажуть, що поверхня віднесена до ліній головних кривизн.
Подамо третю координату як відстань вздовж додатного напрямку нормалі до
поверхні в точці . Тоді визначимо в множину , яку називатимемо шаром,
радіус-вектором
. 12813
Система координат є триортогональною. Дійсно,
. 14915
Тоді за означенням є одиничний вектор ортогональний до , тому
161017
і, таким чином,
. 181119
Залишається виписати рівності
201221
Отже, система ортогональних криволінійних спряжених координат буде
триортогональною тоді і тільки тоді, коли координатні криві на серединній
поверхні будуть лініями кривизни.
Розглянемо формули для коефіцієнтів Ляме криволінійної системи координат . За
означенням
221323
У [14, 49] показано, що для введеної нами системи координат
, 241425
де коефіцієнтами першої квадратичної форми, - головні кривизни серединної
поверхні. Вони не залежать від .
Визначимо також - радіуси головних кривизн для еквідистантних поверхонь, тобто
поверхонь рівновіддалених від серединної. При цьому радіус-вектор точки
еквідистантної поверхні задається співвідношенням
, 261527
де z-відстань еквідистантної поверхні від серединної поверхні.
Тоді отримаємо формули
281629
2.1.2. Рівняння теплопровідності в криволінійній системі координат. Теорія
теплопровідності базується на диференціальному рівнянні теплопровідності
[3,36,50], яке встановлює зв’язок між просторовими та часовими змінами
температури в будь-який момент часу в будь-якій точці середовища, в якій
проходить процес теплопровідності. Воно має вигляд
, 301731
де - питома теплоємність, ,
- функція розподілу температури, ,
- густина, ,
- коефіцієнт теплопровідності, ,
- параметр часу, ,
- об’ємна густина теплового потоку, .
У випадку, коли функції питомої теплоємності та густини середовища не залежать
від часу, рівняння теплопровідності має вигляд:
. 321833
Запишемо рівняння теплопровідності у ортогональній криволінійній системі
координат . Використаємо при цьому запис операторних співвідношень в деякій
криволінійній системі координат ,
, 341935
, 362037
де - компоненти метричного тензора, які визначаються формулою
, .
У нашому випадку
382139
Підставляючи формули (2.17), (2.18), (2.19) в (2.16), отримаємо рівняння
теплопровідності в криволінійній ортогональній системі координат , пов’язаній з
серединною поверхнею шару
402241
Для моделювання процесів дифузійного масоперенесення в нестисливих середовищах
використовується рівняння [1, 53]
422343
де - концентрація субстанції,
- коефіцієнт дифузії,
- величина, обернена до інтервалу часу, за який концентрація субстанції в
порівнянні з початковою субстанцією зменшиться в е раз;
– молекулярний притік субстанції.
Як і у випадку теплоперенесення, ми не враховуємо конвективних членів.
Коли коефіцієнт , отримаємо рівняння
. 442445
Очевидно, що при відповідному трактуванні коефіцієнтів та шуканої функції,
рівняння (2.20) описує процес дифузійного масоперенесення в криволінійній
ортогональній системі координат. У зв’язку з цим, не зменшуючи загальності, ми
розглядатимемо тільки рівняння теплопровідності.
2.1.3. Типи крайових умов. Відомо, що у загальному випадку диференціальне
рівняння теплопровідності має безліч розв’язків. Щоб з цієї множини вибрати
розв’язок, який характеризує конкретний процес, дати повний математичний опис
цього процесу необхідно задати початкові та крайові умови.
Початкову умову виберемо у вигляді
при . 462547
Розглянемо граничні умови основних чотирьох видів.
У випадку граничної умови першого роду
482649
на границі середовища в кожний момент часу задається розподіл температури.
Гранична умова другого роду має вигляд
. 502751
У випадку граничної умови третього роду задається температура навколишнього
середовища Тс і закон теплообміну між поверхнею середовища і навколишнім
середовищем. Зокрема, якщо між поверхнею середовища і навколишнім середовищем
відбувається конвективний теплообмін, опис його здійснюється у вигляді закону
Ньютона
на , 522853
де - зовнішня нормаль до поверхні середовища, – коефіцієнт теплообміну, що
дорівнює кількості тепла, відданого (чи отриманого) одиницею площі поверхні
тіла за одиницю часу при різниці температур поверхнею і навколишнім середовищем
в 10
- Київ+380960830922