Автоматизація розв’язання просторових задач з неповними даними

Розділ 2
Прямі та обернені задачі для еліптичних рівнянь
2.1. Розв’язання прямих та обернених некоректних крайових задач для лінійних
еліптичних рівнянь у тривимірному просторі
Розглянемо крайову задачу для еліптичного рівняння вигляду
, (2.1)
де компоненти коефіцієнта k=() – задані додатні числа, вектор , а q(x) –
інтегровна за Ріманом в області W та обмежена функція.
Крайові умови для рівняння (2.1) мають вигляд
, , (2.2)
де n – зовнішня нормаль до , – контур, який обмежує область W.
Розв’язок задачі (2.1) – (2.2) побудований у вигляді суми
, (2.3)
складові якої
, (2.4)
моделюють вплив на стан розглядуваної системи функції зовнішніх збурень та
крайових умов (2.2). Тут W, – функція Гріна рівняння (2.1) в необмежених
областях зміни координат ().
Розв’язання задачі зводиться до визначення функції фіктивних зовнішніх впливів
, яка через складові (2.3) моделює дію крайових умов. Застосовувана методика
дозволяє провести таке моделювання для двох випадків:
коли дискретизовані крайові умови моделюються неперервними зовнішніми
збуреннями;
коли неперервні функції , якими задані крайові умови, моделюються дискретними
значеннями функції .
При розв’язанні отримуваних таким чином задач значення просторових координат s
дискретизуються точками (), , , а – точками (). Останнє дозволило задачу
знаходження моделюючих функцій (або їх дискретних значень) звести, відповідно,
до обернення системи інтегральних
, (2.5)
або функціональних
(2.6)
співвідношень. Тут та надалі
, ), , , , ,,
, .
З використанням методики обернення систем алгебраїчних рівнянь поширеної
М.Ф. Кириченком та В.А.Стояном на функціональні та інтегральні перетворення,
побудовані множини розв’язків рівнянь (2.5) та (2.6), або середньоквадратичних
наближень до них згідно з критеріями
, (2.7)
, (2.8)
де
Ці множини, умови їх однозначності та аналітичні вирази для похибок моделювання
визначені у наступних двох теоремах.
Теорема 2.1. Множина функцій в розв’язку (2.4) рівняння (2.1), побудована
згідно (2.7), матиме вигляд
. (2.9)
Тут – довільна функція, інтегровна в області зміни своїх аргументів, – операція
псевдообернення матриці.
Похибка моделювання функціями початкових умов (2.2) визначається величиною
=.
У випадку, коли , моделювання точне; в інших випадках – наближене. Моделювання
початкових умов (2.2) функціями , або наближення до них з точністю буде
однозначним, якщо
При цьому
Теорема 2.2. Вектор значень функції в точках побудований згідно (2.8),
визначається співвідношенням:
, (2.10)
де – матриця псевдообернена до
а .
Похибка моделювання дорівнює
При умова (2.2) вектором моделюється точно, а при це моделювання буде
наближеним. Умова однозначності моделювання початково-крайових умов вектором
матиме вигляд . При цьому .
У випадку оберненої задачі, функція невідома і знаходиться з умов
. (2.11)
Область дискретизується точками (). Рівняння (2.5) при цьому матиме вигляд
, (2.12)
де , а область визначення матриць та розширена до .
Система (2.6) приймає вигляд:
(2.13)
Множини розв’язків рівняння (2.12) та системи (2.13), або середньоквадратичних
наближень до них, знаходяться згідно з критеріями
, (2.14)
, (2.15)
де
Ці множини, умови їх однозначності та аналітичні вирази для похибок моделювання
визначені у наступних двох теоремах.
Теорема 2.3. Множина функцій , побудована згідно з (2.14), матиме вигляд
. (2.16)
Тут – довільна функція, інтегровна в області зміни своїх аргументів, – операція
псевдообернення матриці, , а .
Похибка моделювання множиною функцій умов (2.2) та (2.11) визначається
величиною
=.
У випадку, коли , моделювання точне, в інших випадках – наближене. Моделювання
буде однозначним, якщо
При цьому
Теорема 2.4. Вектор значень функцій та в точках та , побудований згідно (2.15),
визначається співвідношенням:
, (2.17)
де – матриця псевдообернена до
а .
Похибка моделювання визначається величиною
При умови (2.2) та (2.11) вектором моделюється точно, а при моделювання буде
наближеним. Умова однозначності моделювання початково-крайових умов вектором
матиме вигляд . При цьому .
Доведення теорем 2.1 та 2.3 випливає з узагальнення [31] методики [30]
псевдообернень алгебраїчних систем на інтегральні рівняння, а теорем 2.2 та 2.4
з результатів [30,78] по оберненню функціональних співвідношень.
Функція Гріна еліптичного рівняння в необмеженій просторовій області. Для
застосування інтегральної моделі до розв’язання прямих та обернених задач для
тривимірних систем, які описуються диференціальними рівняннями еліптичного
типу, необхідно знати функцію Гріна еліптичного рівняння в необмежених областях
зміни координат ().
Розглянемо еліптичне рівняння у вигляді
(2.18)
Шляхом заміни змінних рівняння (2.18) перетворюється у рівняння
(2.19)
Шукана функція Гріна для рівняння (2.19) згідно [54] має вигляд:
, де
Звідки для рівняння (2.18) отримуємо
(2.20)
2.2. Чисельний алгоритм розв’язання прямих та обернених задач
При чисельному розв’язанні задачі (2.1)-(2.2) згідно (2.8), функція
визначається шляхом дискретизації областей W і S та границь й апроксимації
інтегр