РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ ОПИСУ І ДОСЛІДЖЕННЯ РІВНОВАГИ
В СИСТЕМІ МАГНІТНИХ ТІЛ
2.1. Методи опису конфігурацій магнітних тіл
Для знаходження безконтактної рівноваги тіл у полі далекодіючих сил (як правило, мають на увазі магнітні сили, можливо, разом з однорідним полем сили ваги) найбільш загальним є теоретико-польовий підхід, який базується на використанні апарата рівнянь у частинних похідних. Компоненти сил і моментів сил, що діють на тіло, визначаються інтегруванням по границі тіла виразів, що включають компоненти тензора енергії-імпульсу поля (у статичному випадку тензора напруг) [34, с.99,184]. Такий підхід не передбачає якого-небудь визначення потенційної енергії тіл. Тому замість однієї функції координат і орієнтації тіл (потенційної енергії) є, як мінімум, шість функцій, необхідних для визначення рівноваги.
Треба відмітити, що поділ тензора енергії-імпульсу на тензор поля і речовини не є однозначним. "Взагалі кажучи, можна стверджувати, що рішення проблеми одержання рівнянь для енергії-імпульсу і моменту імпульсу для поляризованих середовищ не можна отримати на основі використання лише макроскопічних аргументів. Проблема залишається невизначеною, навіть якщо розглядати тільки польовий тензор енергії-імпульсу без отримання виражень для тензора енергії-імпульсу речовини. Одержання задовільних результатів можливе лише в тому випадку, якщо в основу будуть покладені мікроскопічні закони. .... питання про поділ на польову частину і частину речовини виявляється тоді лише питанням позначень" [35, c.303].
У найпростішому випадку (лінійність відгуку, відсутність просторово-часової дисперсії) компоненти тензора енергії-імпульсу є квадратичними по полю. Отже, для обчислення тензора енергії-імпульсу, сил і моментів сил, що діють на тіло, необхідно вміти інтегрувати рівняння поля з відповідними граничними умовами.
Рівняння магнітостатики є векторними рівняннями, однак виявляється, що вони можуть бути зведені до крайової задачі для скалярної функції [36, с.381]. У загальному випадку, що охоплює як задачі електростатики, так і магнітостатики можна показати: "... що векторне поле ... однозначно визначене усередині деякої області ..., яка є обмеженою замкнутою поверхнею ..., якщо заданий ротор і дивергенція поля усередині ...
, (2.1)
, (2.2)
а на границі задана нормальна складова вектора .
..." (2.3)
Помітимо, що функції , C і f задовольняють умовам самоузгодженості ( , ).
Рішення шукають у вигляді суми трьох векторних функцій , ,:
. (2.4)
Функцію знаходять із умови
, (2.5)
, (2.6)
тобто можна представити у виді
, (2.7)
тоді скалярна функція визначається формулою
, (2.8)
де , , ,
G - деяка область, усередині якої однозначно визначено поле .
Функція визначається із умови
, (2.9)
. (2.10)
Виявляється, що можна виразити через векторну функцію , що підказує рівняння (2.10)
. (2.11)
Причому, якщо функція задовольняє кулонівському калібруванню,
, (2.12)
то рівняння (2.11) зводиться до рівняння Пуассона
. (2.13)
Рішення (2.13) дає інтеграл Пуассона
по розширеній області такий, щоб лінії струму не перетинали її границю .
Як показано в [36, с.383], векторна функція задовольняє вихідним рівнянням (2.1-2.2), тому повинна задовольняти рівнянням
, (2.14)
(2.15)
і граничній умові
. (2.16)
З (2.14) одержуємо
.
Таким чином, рішення вихідної задачі (2.1-2.3) зводиться до другої крайової задачі для скалярної функції в області G:
, (2.17)
. (2.18)
Підкреслимо, що на відміну від електростатики, де, як правило, виникає крайова задача Діріхле, в магнітостатиці приходимо до крайової задачі Неймана.
Замкнуті аналітичні рішення для крайових задач можливі тільки для областей досить простої форми, так, наприклад, у відомих курсах математичної фізики [15, 36] рішення задачі Неймана дають тільки для сферичної області, де найбільш могутнім інструментом є розкладання за сферичними функціями.
Приведемо нижче формули [15, с.363], які знадобляться нам у розділі 6 для розв'язання задачі про поле магнітного диполя усередині надпровідної сфери.
Нехай f - задана неперервна функція на сфері , тоді розкладається в ряд Фур'є за сферичними функціями
, , (2.19)
де
.
Тоді
, , (2.20)
- рішення внутрішньої задачі Діріхле з ;
, , (2.21)
- рішення внутрішньої задачі Неймана з за умови, що
; (2.22)
,, (2.23)
- рішення зовнішньої задачі Діріхле з ;
, , (2.24)
- рішення зовнішньої задачі Неймана з
Для нашої проблеми є необхідним рішення задачі Неймана як мінімум для двох тіл, взагалі кажучи, довільно орієнтованих один щодо одного, форма яких може і не бути еліпсоїдальною. Ясно, що розв'язання таких крайових задач являє собою велику самостійну проблему, і тому загальний теоретико-польовий підхід не дає ефективних методів пошуку стійкої безконтактної рівноваги.
2.2. Квазістаціонарне наближення і формалізм Лагранжа
Істотного спрощення нашої задачі можна досягти при використанні квазістаціонарного наближення для опису електро
- Київ+380960830922