РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА И ВЫБОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
2.1. Методы аналитического преобразования динамических моделей
При моделировании динамических систем важным способом выявления их специфических свойств и возможностей численной реализации является представление моделей в различных эквивалентных формах, что требует развития методов эквивалентных преобразований. Использование эквивалентных форм математических моделей динамических систем является общепринятым подходом, например, при исследовании систем управления широко используются временные модели в виде дифференциальных уравнений, операторные в виде передаточных функций, частотные в виде амплитудно-частотных характеристик и т.п., которые используются для анализа различных свойств заданной системы. Зачастую получение модели исходя из ее физических свойств удобно в одной форме, а ее численная реализация в другой, эквивалентной исходной.
Применительно к динамическим системам, естественной формой описания которых являются ИДУ, важное прикладное значение имеет эквивалентное преобразование исходной математической модели к моделям в виде интегральных уравнений, методы численной реализации которых хорошо разработаны и имеют ряд преимуществ: устойчивость, помехозащищенность, меньшую чувствительность к погрешностям исходных данных и т.д. Кроме того, такое преобразование позволяет расширить класс используемых численных методов, в частности позволяет использовать быстросходящиеся и обладающие высокой устойчивостью итерационные методы решения интегральных уравнений, например, модифицированный метод Ньютона-Канторовича. Рассмотрим ряд методов такого эквивалентного перехода.
Рассмотрим нелинейное интегро-дифференциальное уравнение вида [18]
, (2.1)
с нулевыми начальными условиями ,
где - непрерывные функции, .
Пусть - фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения
Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения
можно записать в виде
. (2.2)
Согласно методу вариации постоянных, коэффициенты определяются по формуле [18]
, (2.3)
где ,
- минор элемента -й строки -го столбца определителя
С учетом (2.3) выражение (2.2) примет вид
, (2.4)
где ,
.
Используя выражение (2.4), уравнение (2.1) можно привести к виду [18]
, (2.5)
а затем, выполнив замену , преобразовать к эквивалентному интегральному уравнению
(2.6)
где .
В случае ненулевых начальных условий , заменой переменных
задача сводится к задаче с нулевыми начальными условиями.
Другим методом эквивалентного преобразования динамических моделей является метод старшей производной [18], позволяющий заменой переменных
, (2.7)
где , преобразовать уравнение (2.1) с начальными условиями , к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра вида
, (2.8)
где ,
Для решения интегральных уравнений, полученных путем эквивалентных преобразований, имеется большое количество численных методов, в основе большинства из которых лежит замена интеграла квадратурными формулами [38,44-46,54,76], кроме того, широкое применение находят итерационные методы, методы Рунге-Кутты, методы основанные на использовании сплайнов и кусочно-гладких полиномов [19]. В случае нелинейных уравнений, эффективным является использование специализированных итерационных методов [19,34,83].
2.2. Алгоритмы численной реализации итерационных методов решения интегро-дифференциальных и интегральных уравнений с оператором Вольтерра
Отличительной особенностью итерационных методов является простота их машинной реализации, что делает возможным их эффективное применение не только как самостоятельных методов, но и в качестве вспомогательных методов для уточнения результатов, предварительно полученных прямыми методами. При этом важно, чтобы итерационный процесс сходился с высокой скоростью. Одним из эффективных методов численного решения уравнения (2.8), позволяющий значительно ускорить сходимость по сравнению с другими итерационными методами, является модифицированный метод Ньютон-Канторовича [19,34]. В основе данного метода лежит решение линейного интегрального уравнения
, (2.9)
где
. (2.10)
Тогда k-е приближение вычисляется по формуле
, (2.11)
Таким образом, для численного решения интегро-дифференциального уравнения (2.1) предлагается следующий итерационный алгоритм на основе метода Ньютона-Канторовича:
1. Осуществление перехода к интегральной математической модели, используя эквивалентные преобразования (2.6)-(2.7).
2. Нахождение начального приближения с помощью метода квадратур, с использованием квадратурных формул открытого типа [19]
где ,
, (2.12)
h - шаг.
Порядок точности метода равен .
3. Определение невязки , при этом интеграл в выражении (2.10) вычисляется по квадратурной формуле, представляющей собой комбинацию формулы Ньютона с обобщенной формулой Симпсона
,
в которой при i четном:
а при i нечетном:
4. Решение линейного интегрального уравнения (2.9) методом квадратур на основе формулы трапеций
5. Вычисление го приближения решения по формуле (2.11).
6. Повторение шагов 3-5 в том случае, если заданная точность не достигнута.
7. Окончание итерационного процесса и вычисления решения исходного интегро-дифференциального уравнения (2.1) по формуле (2.7).
Применение метода Ньютона-Канторовича, а так же других методов, используемых для решения интегральных уравнений, к решению интегро-дифференциальных уравнений требует выполнения сложных предварительных эквивалентных преобразований исходной модели. Очевидно, что можно добиться значительного повышения эффективности использования этих методов, выполняя указанные преобразования программным способом. В данной работе предлагается метод компьютерной реализации интегро-дифференциальных моделей, основанный на автоматической адаптации метода квадратур, используемого для решения интеграл